№ 75 ЗПС = № 75 ЗПС
У циліндр вписано кулю так, що вона дотикається до основ і бічної поверхні циліндра. Знайдіть відношення:
1) об’єму кулі до об’єму циліндра;
2) площі сфери до площі повної поверхні циліндра.
Розв’язок:
Нехай $R$ — радіус кулі. Оскільки куля вписана в циліндр, то радіус основи циліндра $r=R$, а висота циліндра $h=2R$.
1) Об’єм кулі $V_{\text{к}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}$.
Об’єм циліндра $V_{\text{ц}}=\pi r^{2}h=\pi R^{2}\cdot2R=2\pi R^{3}$.
Відношення об’ємів:
$\frac{V_{\text{к}}}{V_{\text{ц}}}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^{3}}{2\pi R^{3}}=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$
2) Площа поверхні сфери $S_{\text{сф}}=4\pi R^{2}$.
Площа повної поверхні циліндра $S_{\text{ц}}=2\pi r^{2}+2\pi rh=$
$=2\pi R^{2}+2\pi R\cdot2R=$
$=2\pi R^{2}+4\pi R^{2}=6\pi R^{2}$.
Відношення площ:
$\frac{S_{\text{сф}}}{S_{\text{ц}}}=\frac{4\pi R^{2}}{6\pi R^{2}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
Відповідь:
1) $2\ :3$;
2) $2\ :3$.