Сторінка 30
255. Покажіть на координатній прямій і запишіть об'єднання проміжків:
1) $(-2; 7)$ і $[6; 12)$;
2) $[0; 1]$ і $(-2; 1]$;
3) $[7; 10]$ і $(8; 9)$;
4) $(-\infty; 2)$ і $[1{,}9; 4)$;
5) $(1; 2)$ і $[2; +\infty)$;
6) $(-\infty; 1)$ і $(2; 4]$.
Розв'язок:
1) Об'єднання проміжків $(-2; 7)$ і $[6; 12)$ — проміжок $(-2; 12)$.
2) Об'єднання проміжків $[0; 1]$ і $(-2; 1]$ — проміжок $(-2; 1]$.
3) Об'єднання проміжків $[7; 10]$ і $(8; 9)$ — проміжок $[7; 10]$.
4) Об'єднання проміжків $(-\infty; 2)$ і $[1{,}9; 4)$ — проміжок $(-\infty; 4)$.
5) Об'єднання проміжків $(1; 2)$ і $[2; +\infty)$ — проміжок $(1; +\infty)$.
6) Проміжки $(-\infty; 1)$ і $(2; 4]$ не мають спільних точок, тож об'єднання — $(-\infty; 1) \cup (2; 4]$.
Відповідь: 1) $(-2; 12)$;
2) $(-2; 1]$;
3) $[7; 10]$;
4) $(-\infty; 4)$;
5) $(1; +\infty)$;
6) $(-\infty; 1) \cup (2; 4]$.
256. Покажіть на координатній прямій і запишіть об'єднання проміжків:
1) $[-1{,}4)$ і $(3; 7]$;
2) $(-3; 2)$ і $(0; 2]$;
3) $(-5; 1)$ і $[1; 7)$;
4) $(-\infty; 2)$ і $(1; +\infty)$.
Розв'язок:
В умові 1), ймовірно, друкарська помилка: замість «$[-1{,}4)$» має бути проміжок $[-1; 4)$ (так і у «Відповідях» посібника: $[-1; 7]$). Розв'язуємо для $[-1; 4)$.
1) Об'єднання проміжків $[-1; 4)$ і $(3; 7]$ — проміжок $[-1; 7]$.
2) Об'єднання проміжків $(-3; 2)$ і $(0; 2]$ — проміжок $(-3; 2]$.
3) Об'єднання проміжків $(-5; 1)$ і $[1; 7)$ — проміжок $(-5; 7)$.
4) Об'єднання проміжків $(-\infty; 2)$ і $(1; +\infty)$ — проміжок $(-\infty; +\infty)$.
Відповідь: 1) $[-1; 7]$;
2) $(-3; 2]$;
3) $(-5; 7)$;
4) $(-\infty; +\infty)$.
Рівносильні нерівності
257. (Усно.) Які з нерівностей є лінійними:
1) $\frac{1}{x} \lt 5$;
2) $\frac{1}{5}x \lt 1$;
3) $2x^2 \ge 3$;
4) $2x \ge 3$?
Розв'язок:
Лінійна нерівність з однією змінною має вигляд $ax \gt b$, $ax \lt b$, $ax \ge b$ або $ax \le b$, де $a$ і $b$ — числа.
1) змінна в знаменнику — не лінійна;
2) $a = \frac{1}{5}$, $b = 1$ — лінійна;
3) змінна в квадраті — не лінійна;
4) $a = 2$, $b = 3$ — лінійна.
Відповідь: 2), 4).
258. Чи рівносильні нерівності:
1) $3x - 2 \ge 5$ і $3x \ge 5 + 2$;
2) $2x \gt 8$ і $x \lt 4$?
Розв'язок:
1) Другу нерівність отримано з першої перенесенням доданка $-2$ з лівої частини в праву з протилежним знаком, тож нерівності рівносильні (обидві мають розв'язки $x \ge \frac{7}{3}$).
2) $2x \gt 8$, $x \gt 4$ — множина розв'язків $(4; +\infty)$, а в нерівності $x \lt 4$ — $(-\infty; 4)$. Множини різні, тому нерівності не рівносильні.
Відповідь: 1) так;
2) ні.
259. Чи рівносильні нерівності:
1) $5x + 3 \gt 5$ і $5x \gt 5 + 3$;
2) $4x \le 12$ і $x \le 3$?
Розв'язок:
1) $5x + 3 \gt 5$, $5x \gt 2$, $x \gt 0{,}4$.
$5x \gt 5 + 3$, $5x \gt 8$, $x \gt 1{,}6$.
Число $1$ — розв'язок першої нерівності, але не другої, тому нерівності не рівносильні (при перенесенні доданка $3$ треба змінити його знак).
2) $4x \le 12$, $x \le 3$ — множини розв'язків однакові, $(-\infty; 3]$, тому нерівності рівносильні.
Відповідь: 1) ні;
2) так.
260. Розв'яжіть нерівність і зобразіть множину її розв'язків на координатній прямій:
1) $x + 2 \gt 0$;
2) $x - 12 \le 0$;
3) $x + 0{,}1 \ge 0$;
4) $x + 7 \lt 0$.
Розв'язок:
1) $x + 2 \gt 0$
$x \gt -2$
2) $x - 12 \le 0$
$x \le 12$
3) $x + 0{,}1 \ge 0$
$x \ge -0{,}1$
4) $x + 7 \lt 0$
$x \lt -7$
Відповідь: 1) $(-2; +\infty)$;
2) $(-\infty; 12]$;
3) $[-0{,}1; +\infty)$;
4) $(-\infty; -7)$.
261. Розв'яжіть нерівність і зобразіть множину її розв'язків на координатній прямій:
1) $x - 3 \ge 0$;
2) $x + 5 \lt 0$;
3) $x + 0{,}4 \gt 0$;
4) $x - 3 \le 0$.
Розв'язок:
1) $x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
2) $x + 5 \lt 0$
$x \lt -5$
3) $x + 0{,}4 \gt 0$
$x \gt -0{,}4$
4) $x - 3 \le 0$
$x \le 3$
Відповідь: 1) $[3; +\infty)$;
2) $(-\infty; -5)$;
3) $(-0{,}4; +\infty)$;
4) $(-\infty; 3]$.
262. Розв'яжіть нерівність:
1) $4x \gt 20$;
2) $8x \lt 72$;
3) $-6x \gt -36$;
4) $-x \lt 12$;
5) $3x \gt 13$;
6) $6x \lt 1{,}2$;
7) $-18x \ge -27$;
8) $-20x \le 25$;
9) $\frac{1}{5}x \gt 3$;
10) $\frac{4}{5}x \gt 16$;
11) $-\frac{3}{8}x \lt -15$;
12) $-1\frac{1}{6}x \gt 49$.
Розв'язок:
1) $4x \gt 20$
$x \gt 20 : 4$
$x \gt 5$
2) $8x \lt 72$
$x \lt 72 : 8$
$x \lt 9$
3) $-6x \gt -36$
$x \lt -36 : (-6)$
$x \lt 6$
4) $-x \lt 12$
$x \gt -12$
5) $3x \gt 13$
$x \gt \frac{13}{3}$
$x \gt 4\frac{1}{3}$
6) $6x \lt 1{,}2$
$x \lt 1{,}2 : 6$
$x \lt 0{,}2$
7) $-18x \ge -27$
$x \le -27 : (-18)$
$x \le 1{,}5$
8) $-20x \le 25$
$x \ge 25 : (-20)$
$x \ge -1{,}25$
9) $\frac{1}{5}x \gt 3$
$x \gt 3 \cdot 5$
$x \gt 15$
10) $\frac{4}{5}x \gt 16$
$x \gt 16 \cdot \frac{5}{4}$
$x \gt 20$
11) $-\frac{3}{8}x \lt -15$
$x \gt -15 \cdot \left(-\frac{8}{3}\right)$
$x \gt 40$
12) $-1\frac{1}{6}x \gt 49$
$-\frac{7}{6}x \gt 49$
$x \lt 49 \cdot \left(-\frac{6}{7}\right)$
$x \lt -42$
Відповідь: 1) $(5; +\infty)$;
2) $(-\infty; 9)$;
3) $(-\infty; 6)$;
4) $(-12; +\infty)$;
5) $\left(4\frac{1}{3}; +\infty\right)$;
6) $(-\infty; 0{,}2)$;
7) $(-\infty; 1{,}5]$;
8) $[-1{,}25; +\infty)$;
9) $(15; +\infty)$;
10) $(20; +\infty)$;
11) $(40; +\infty)$;
12) $(-\infty; -42)$.
263. Розв'яжіть нерівність:
1) $5x \gt 25$;
2) $6x \lt 24$;
3) $-x \gt -8$;
4) $-2x \le 10$;
5) $7x \gt 13$;
6) $3x \lt 1{,}5$;
7) $15x \ge -20$;
8) $-9x \le 24$;
9) $\frac{1}{8}x \lt 13$;
10) $\frac{2}{9}x \ge 20$;
11) $-\frac{1}{4}x \lt 7$;
12) $-\frac{3}{7}x \gt 1{,}2$.
Розв'язок:
1) $5x \gt 25$
$x \gt 25 : 5$
$x \gt 5$
2) $6x \lt 24$
$x \lt 24 : 6$
$x \lt 4$
3) $-x \gt -8$
$x \lt 8$
4) $-2x \le 10$
$x \ge 10 : (-2)$
$x \ge -5$
5) $7x \gt 13$
$x \gt \frac{13}{7}$
$x \gt 1\frac{6}{7}$
6) $3x \lt 1{,}5$
$x \lt 1{,}5 : 3$
$x \lt 0{,}5$
7) $15x \ge -20$
$x \ge -\frac{20}{15}$
$x \ge -1\frac{1}{3}$
8) $-9x \le 24$
$x \ge -\frac{24}{9}$
$x \ge -2\frac{2}{3}$
9) $\frac{1}{8}x \lt 13$
$x \lt 13 \cdot 8$
$x \lt 104$
10) $\frac{2}{9}x \ge 20$
$x \ge 20 \cdot \frac{9}{2}$
$x \ge 90$
11) $-\frac{1}{4}x \lt 7$
$x \gt 7 \cdot (-4)$
$x \gt -28$
12) $-\frac{3}{7}x \gt 1{,}2$
$x \lt 1{,}2 \cdot \left(-\frac{7}{3}\right)$
$x \lt -2{,}8$
Відповідь: 1) $(5; +\infty)$;
2) $(-\infty; 4)$;
3) $(-\infty; 8)$;
4) $[-5; +\infty)$;
5) $\left(1\frac{6}{7}; +\infty\right)$;
6) $(-\infty; 0{,}5)$;
7) $\left[-1\frac{1}{3}; +\infty\right)$;
8) $\left[-2\frac{2}{3}; +\infty\right)$;
9) $(-\infty; 104)$;
10) $[90; +\infty)$;
11) $(-28; +\infty)$;
12) $(-\infty; -2{,}8)$.
264. Розв'яжіть нерівність і вкажіть три деяких числа, які є її розв'язком:
1) $2x \lt 12$;
2) $7x \ge 14$;
3) $-5x \le 21$;
4) $-4x \gt -12$.
Розв'язок:
1) $2x \lt 12$
$x \lt 6$
Наприклад: $0$; $1$; $5$.
2) $7x \ge 14$
$x \ge 2$
Наприклад: $2$; $3$; $10$.
3) $-5x \le 21$
$x \ge -4{,}2$
Наприклад: $-4$; $0$; $1$.
4) $-4x \gt -12$
$x \lt 3$
Наприклад: $0$; $1$; $2$.
Відповідь: 1) $(-\infty; 6)$, наприклад, $0$; $1$; $5$;
2) $[2; +\infty)$, наприклад, $2$; $3$; $10$;
3) $[-4{,}2; +\infty)$, наприклад, $-4$; $0$; $1$;
4) $(-\infty; 3)$, наприклад, $0$; $1$; $2$.
265. Розв'яжіть нерівність і вкажіть два деяких числа, які є її розв'язком:
1) $5x \le -15$;
2) $2x \gt 18$;
3) $-3x \lt -18$;
4) $-x \ge -5$.
Розв'язок:
1) $5x \le -15$
$x \le -3$
Наприклад: $-3$; $-5$.
2) $2x \gt 18$
$x \gt 9$
Наприклад: $10$; $12$.
3) $-3x \lt -18$
$x \gt 6$
Наприклад: $7$; $10$.
4) $-x \ge -5$
$x \le 5$
Наприклад: $0$; $5$.
Відповідь: 1) $(-\infty; -3]$, наприклад, $-3$; $-5$;
2) $(9; +\infty)$, наприклад, $10$; $12$;
3) $(6; +\infty)$, наприклад, $7$; $10$;
4) $(-\infty; 5]$, наприклад, $0$; $5$.
266. Розв'яжіть нерівність і запишіть множину її розв'язків у вигляді проміжку:
1) $0{,}4x \gt 8$;
2) $-0{,}7x \le 1{,}4$;
3) $100x \lt 0{,}1$;
4) $-2x \ge 1{,}7$.
Розв'язок:
1) $0{,}4x \gt 8$
$x \gt 8 : 0{,}4$
$x \gt 20$
2) $-0{,}7x \le 1{,}4$
$x \ge 1{,}4 : (-0{,}7)$
$x \ge -2$
3) $100x \lt 0{,}1$
$x \lt 0{,}1 : 100$
$x \lt 0{,}001$
4) $-2x \ge 1{,}7$
$x \le 1{,}7 : (-2)$
$x \le -0{,}85$
Відповідь: 1) $(20; +\infty)$;
2) $[-2; +\infty)$;
3) $(-\infty; 0{,}001)$;
4) $(-\infty; -0{,}85]$.