Сторінка 32
281. Знайдіть натуральні розв'язки нерівності:
1) $x(x + 4) - x^2 \gt 6x - 8$;
2) $3x(x + 1) - x \le 3x^2 - 4x + 24$.
Розв'язок:
1) $x(x + 4) - x^2 \gt 6x - 8$
$x^2 + 4x - x^2 \gt 6x - 8$
$4x - 6x \gt -8$
$-2x \gt -8$
$x \lt 4$
Натуральні розв'язки: $1$; $2$; $3$.
2) $3x(x + 1) - x \le 3x^2 - 4x + 24$
$3x^2 + 3x - x \le 3x^2 - 4x + 24$
$2x + 4x \le 24$
$6x \le 24$
$x \le 4$
Натуральні розв'язки: $1$; $2$; $3$; $4$.
Відповідь: 1) $1$; $2$; $3$;
2) $1$; $2$; $3$; $4$.
282. Знайдіть найменший цілий розв'язок нерівності:
1) $(x - 2)(x + 2) - (x - 1)^2 \ge 5$;
2) $(x - 3)(2x + 5) - x(2x + 3) \le 6$.
Розв'язок:
1) $(x - 2)(x + 2) - (x - 1)^2 \ge 5$
$x^2 - 4 - x^2 + 2x - 1 \ge 5$
$2x - 5 \ge 5$
$2x \ge 10$
$x \ge 5$
Найменший цілий розв'язок: $5$.
2) $(x - 3)(2x + 5) - x(2x + 3) \le 6$
$2x^2 + 5x - 6x - 15 - 2x^2 - 3x \le 6$
$-4x - 15 \le 6$
$-4x \le 21$
$x \ge -5{,}25$
Найменший цілий розв'язок: $-5$.
Відповідь: 1) $5$;
2) $-5$.
283. Знайдіть найбільший цілий розв'язок нерівності:
1) $x(x - 8) - (x + 3)(x - 3) \ge 1$;
2) $(2x + 5)^2 - (x - 4)(4x + 5) \le 5$.
Розв'язок:
1) $x(x - 8) - (x + 3)(x - 3) \ge 1$
$x^2 - 8x - x^2 + 9 \ge 1$
$-8x + 9 \ge 1$
$-8x \ge -8$
$x \le 1$
Найбільший цілий розв'язок: $1$.
2) $(2x + 5)^2 - (x - 4)(4x + 5) \le 5$
$(2x + 5)^2 = 4x^2 + 20x + 25$;
$-(x - 4)(4x + 5) =$
$= -4x^2 + 11x + 20$.
$31x + 45 \le 5$
$31x \le -40$
$x \le -1\frac{9}{31}$
Найбільший цілий розв'язок: $-2$.
Відповідь: 1) $1$;
2) $-2$.
284. Розв'яжіть нерівність і покажіть на координатній прямій множину її розв'язків:
1) $\frac{7 + 2x}{3} \gt 1$;
2) $\frac{5 - x}{4} \le 0$;
3) $\frac{1 + x}{2} \lt 5$;
4) $\frac{3x}{2} \gt x + 3$.
Розв'язок:
1) $\frac{7 + 2x}{3} \gt 1$ $\quad | \cdot 3$
$7 + 2x \gt 3$
$2x \gt -4$
$x \gt -2$
2) $\frac{5 - x}{4} \le 0$ $\quad | \cdot 4$
$5 - x \le 0$
$-x \le -5$
$x \ge 5$
3) $\frac{1 + x}{2} \lt 5$ $\quad | \cdot 2$
$1 + x \lt 10$
$x \lt 9$
4) $\frac{3x}{2} \gt x + 3$ $\quad | \cdot 2$
$3x \gt 2x + 6$
$3x - 2x \gt 6$
$x \gt 6$
Відповідь: 1) $(-2; +\infty)$;
2) $[5; +\infty)$;
3) $(-\infty; 9)$;
4) $(6; +\infty)$.
285. Розв'яжіть нерівність:
1) $\frac{x}{3} + \frac{x}{2} \lt 5$;
2) $\frac{x}{4} - \frac{x}{2} \gt -5$;
3) $\frac{4x}{7} - \frac{2x}{7} \lt \frac{1}{4}$;
4) $\frac{7x - 3}{2} \gt x$.
Розв'язок:
1) $\frac{x}{3} + \frac{x}{2} \lt 5$ $\quad | \cdot 6$
$2x + 3x \lt 30$
$5x \lt 30$
$x \lt 6$
2) $\frac{x}{4} - \frac{x}{2} \gt -5$ $\quad | \cdot 4$
$x - 2x \gt -20$
$-x \gt -20$
$x \lt 20$
3) $\frac{4x}{7} - \frac{2x}{7} \lt \frac{1}{4}$ $\quad | \cdot 28$
$16x - 8x \lt 7$
$8x \lt 7$
$x \lt \frac{7}{8}$
4) $\frac{7x - 3}{2} \gt x$ $\quad | \cdot 2$
$7x - 3 \gt 2x$
$5x \gt 3$
$x \gt \frac{3}{5}$
Відповідь: 1) $(-\infty; 6)$;
2) $(-\infty; 20)$;
3) $\left(-\infty; \frac{7}{8}\right)$;
4) $\left(\frac{3}{5}; +\infty\right)$.
286. Розв'яжіть нерівність і покажіть на координатній прямій множину її розв'язків:
1) $\frac{4x}{5} \lt 1$;
2) $\frac{2 - x}{3} \le 4$;
3) $\frac{3x}{4} - x \gt 2$;
4) $2x + \frac{x}{3} \ge 7$;
5) $\frac{5 - 2x}{4} \ge 2x$;
6) $\frac{2x}{5} - \frac{x}{2} \ge 2$.
Розв'язок:
1) $\frac{4x}{5} \lt 1$ $\quad | \cdot 5$
$4x \lt 5$
$x \lt 1{,}25$
2) $\frac{2 - x}{3} \le 4$ $\quad | \cdot 3$
$2 - x \le 12$
$-x \le 10$
$x \ge -10$
3) $\frac{3x}{4} - x \gt 2$ $\quad | \cdot 4$
$3x - 4x \gt 8$
$-x \gt 8$
$x \lt -8$
4) $2x + \frac{x}{3} \ge 7$ $\quad | \cdot 3$
$6x + x \ge 21$
$7x \ge 21$
$x \ge 3$
5) $\frac{5 - 2x}{4} \ge 2x$ $\quad | \cdot 4$
$5 - 2x \ge 8x$
$-2x - 8x \ge -5$
$-10x \ge -5$
$x \le \frac{1}{2}$
6) $\frac{2x}{5} - \frac{x}{2} \ge 2$ $\quad | \cdot 10$
$4x - 5x \ge 20$
$-x \ge 20$
$x \le -20$
Відповідь: 1) $(-\infty; 1{,}25)$;
2) $[-10; +\infty)$;
3) $(-\infty; -8)$;
4) $[3; +\infty)$;
5) $\left(-\infty; \frac{1}{2}\right]$;
6) $(-\infty; -20]$.
287. Функцію задано формулою $y = 1{,}8 - 0{,}3x$. За яких значень $x$:
1) $y \ge 0$;
2) $y \lt 0$?
Розв'язок:
1) $1{,}8 - 0{,}3x \ge 0$
$-0{,}3x \ge -1{,}8$
$x \le 6$
2) $1{,}8 - 0{,}3x \lt 0$
$-0{,}3x \lt -1{,}8$
$x \gt 6$
Відповідь: 1) $(-\infty; 6]$;
2) $(6; +\infty)$.
288. Функцію задано формулою $y = 4{,}5x - 1{,}5$. За яких значень $x$:
1) $y \le 0$;
2) $y \gt 0$?
Розв'язок:
1) $4{,}5x - 1{,}5 \le 0$
$4{,}5x \le 1{,}5$
$x \le \frac{1}{3}$
2) $4{,}5x - 1{,}5 \gt 0$
$4{,}5x \gt 1{,}5$
$x \gt \frac{1}{3}$
Відповідь: 1) $\left(-\infty; \frac{1}{3}\right]$;
2) $\left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$.
289. Розв'яжіть нерівність і запишіть множину її розв'язків у вигляді проміжку:
1) $6x^2 - 48 \gt 3x(2x + 4)$;
2) $(x + 6)(3x - 8) - 3(x - 1)(x + 1) \lt 20$;
3) $\frac{x - 2}{4} - \frac{5x}{12} - \frac{x + 1}{3} \lt 0$;
4) $x - 1 \ge \frac{3x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2}$.
Розв'язок:
1) $6x^2 - 48 \gt 3x(2x + 4)$
$6x^2 - 48 \gt 6x^2 + 12x$
$-12x \gt 48$
$x \lt -4$
2) $(x + 6)(3x - 8) = 3x^2 + 10x - 48$;
$3(x - 1)(x + 1) = 3x^2 - 3$.
$3x^2 + 10x - 48 - 3x^2 + 3 \lt 20$
$10x - 45 \lt 20$
$10x \lt 65$
$x \lt 6{,}5$
3) $\frac{x - 2}{4} - \frac{5x}{12} - \frac{x + 1}{3} \lt 0$ $\quad | \cdot 12$
$3(x - 2) - 5x - 4(x + 1) \lt 0$
$3x - 6 - 5x - 4x - 4 \lt 0$
$-6x - 10 \lt 0$
$-6x \lt 10$
$x \gt -\frac{5}{3}$
$x \gt -1\frac{2}{3}$
4) $x - 1 \ge \frac{3x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2}$ $\quad | \cdot 6$
$6(x - 1) \ge 2(3x - 1) - 3(x + 1)$
$6x - 6 \ge 6x - 2 - 3x - 3$
$6x - 6 \ge 3x - 5$
$3x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{3}$
Відповідь: 1) $(-\infty; -4)$;
2) $(-\infty; 6{,}5)$;
3) $\left(-1\frac{2}{3}; +\infty\right)$;
4) $\left[\frac{1}{3}; +\infty\right)$.
290. Розв'яжіть нерівність і запишіть множину її розв'язків у вигляді проміжку:
1) $5(x^2 - 1) - 3 \gt 5x(x + 2)$;
2) $8x^2 - x \le 2x(4x + 1)$;
3) $\frac{x - 1}{6} - \frac{2x}{3} - \frac{x + 2}{2} \ge 0$;
4) $x - 2 \gt \frac{x - 3}{4} - \frac{x + 1}{8}$.
Розв'язок:
1) $5(x^2 - 1) - 3 \gt 5x(x + 2)$
$5x^2 - 5 - 3 \gt 5x^2 + 10x$
$-10x \gt 8$
$x \lt -0{,}8$
2) $8x^2 - x \le 2x(4x + 1)$
$8x^2 - x \le 8x^2 + 2x$
$-3x \le 0$
$x \ge 0$
3) $\frac{x - 1}{6} - \frac{2x}{3} - \frac{x + 2}{2} \ge 0$ $\quad | \cdot 6$
$x - 1 - 4x - 3(x + 2) \ge 0$
$x - 1 - 4x - 3x - 6 \ge 0$
$-6x - 7 \ge 0$
$-6x \ge 7$
$x \le -\frac{7}{6}$
$x \le -1\frac{1}{6}$
4) $x - 2 \gt \frac{x - 3}{4} - \frac{x + 1}{8}$ $\quad | \cdot 8$
$8(x - 2) \gt 2(x - 3) - (x + 1)$
$8x - 16 \gt 2x - 6 - x - 1$
$8x - 16 \gt x - 7$
$7x \gt 9$
$x \gt 1\frac{2}{7}$
Відповідь: 1) $(-\infty; -0{,}8)$;
2) $[0; +\infty)$;
3) $\left(-\infty; -1\frac{1}{6}\right]$;
4) $\left(1\frac{2}{7}; +\infty\right)$.