Сторінка 33
291. За яких значень $x$ має зміст вираз:
1) $\sqrt{x} + \frac{1}{x - 3}$;
2) $\sqrt{x - 3} + \frac{1}{x - 4}$;
3) $\frac{1}{\sqrt{8 - 5x}} + \frac{1}{|x| - 1}$;
4) $\sqrt{x^2 - x(x + 1)} + \frac{1}{x^2 - 5}$?
Розв'язок:
1) Вираз має зміст, якщо вираз під коренем невід'ємний, а знаменник дробу не дорівнює нулю:
$\begin{cases} x \ge 0, \\ x - 3 \ne 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 0, \\ x \ne 3. \end{cases}$
З проміжку $[0; +\infty)$ треба вилучити число $3$.
2) $\begin{cases} x - 3 \ge 0, \\ x - 4 \ne 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 3, \\ x \ne 4. \end{cases}$
З проміжку $[3; +\infty)$ треба вилучити число $4$.
3) Вираз під коренем у знаменнику першого дробу додатний, знаменник другого дробу не дорівнює нулю:
$\begin{cases} 8 - 5x \gt 0, \\ |x| - 1 \ne 0; \end{cases}$
$\begin{cases} -5x \gt -8, \\ |x| \ne 1; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt 1{,}6, \\ x \ne -1, \; x \ne 1. \end{cases}$
З проміжку $(-\infty; 1{,}6)$ треба вилучити числа $-1$ і $1$.
4) $x^2 - x(x + 1) = x^2 - x^2 - x = -x$.
$\begin{cases} -x \ge 0, \\ x^2 - 5 \ne 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \le 0, \\ x \ne -\sqrt{5}, \; x \ne \sqrt{5}. \end{cases}$
Число $\sqrt{5}$ не належить проміжку $(-\infty; 0]$, тож з нього треба вилучити лише число $-\sqrt{5}$.
Відповідь: 1) $[0; 3) \cup (3; +\infty)$;
2) $[3; 4) \cup (4; +\infty)$;
3) $(-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; 1{,}6)$;
4) $(-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}; 0]$.
292. За яких значень $x$ має зміст вираз:
1) $\sqrt{x + 2} + \frac{1}{x + 1}$;
2) $\frac{1}{\sqrt{10 - 4x}} + \frac{1}{2 - |x|}$?
Розв'язок:
1) Вираз має зміст, якщо вираз під коренем невід'ємний, а знаменник дробу не дорівнює нулю:
$\begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ x + 1 \ne 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge -2, \\ x \ne -1. \end{cases}$
З проміжку $[-2; +\infty)$ треба вилучити число $-1$.
2) Вираз під коренем у знаменнику першого дробу додатний, знаменник другого дробу не дорівнює нулю:
$\begin{cases} 10 - 4x \gt 0, \\ 2 - |x| \ne 0; \end{cases}$
$\begin{cases} -4x \gt -10, \\ |x| \ne 2; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt 2{,}5, \\ x \ne -2, \; x \ne 2. \end{cases}$
З проміжку $(-\infty; 2{,}5)$ треба вилучити числа $-2$ і $2$.
Відповідь: 1) $[-2; -1) \cup (-1; +\infty)$;
2) $(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; 2{,}5)$.
293. За яких значень $x$:
1) значення двочлена $5x - 1$ більше за відповідне значення дробу $\frac{7x - 4}{4}$;
2) значення дробу $\frac{5 - 2x}{3}$ менше, ніж відповідне значення дробу $\frac{3 - 4x}{5}$?
Розв'язок:
1) $5x - 1 \gt \frac{7x - 4}{4}$ $\quad | \cdot 4$
$20x - 4 \gt 7x - 4$
$20x - 7x \gt -4 + 4$
$13x \gt 0$
$x \gt 0$
2) $\frac{5 - 2x}{3} \lt \frac{3 - 4x}{5}$ $\quad | \cdot 15$
$5(5 - 2x) \lt 3(3 - 4x)$
$25 - 10x \lt 9 - 12x$
$-10x + 12x \lt 9 - 25$
$2x \lt -16$
$x \lt -8$
Відповідь: 1) $(0; +\infty)$;
2) $(-\infty; -8)$.
294. За яких значень $a$ значення дробу $\frac{4 + 3a}{5}$ більше за відповідне значення двочлена $2a - 1$?
Розв'язок:
$\frac{4 + 3a}{5} \gt 2a - 1$ $\quad | \cdot 5$
$4 + 3a \gt 10a - 5$
$3a - 10a \gt -5 - 4$
$-7a \gt -9$
$a \lt \frac{9}{7}$
$a \lt 1\frac{2}{7}$
Відповідь: $\left(-\infty; 1\frac{2}{7}\right)$.
295. Розв'яжіть нерівність:
1) $42(3x + 1) - 6x \gt 120x$;
2) $x + 3 - \frac{3x}{4} \lt \frac{x}{4}$;
3) $4x + 8 \ge 3(x + 13) + (x + 4)$;
4) $(x - 1)^2 - (x - 1)(x + 1) \le 5 - 2x$.
Розв'язок:
1) $42(3x + 1) - 6x \gt 120x$
$126x + 42 - 6x \gt 120x$
$120x - 120x \gt -42$
$0 \cdot x \gt -42$
Нерівність $0 \gt -42$ правильна за будь-якого значення $x$, тож $x$ — будь-яке число.
2) $x + 3 - \frac{3x}{4} \lt \frac{x}{4}$ $\quad | \cdot 4$
$4x + 12 - 3x \lt x$
$4x - 3x - x \lt -12$
$0 \cdot x \lt -12$
Нерівність $0 \lt -12$ неправильна за будь-якого значення $x$, тож нерівність не має розв'язків.
3) $4x + 8 \ge 3(x + 13) + (x + 4)$
$4x + 8 \ge 3x + 39 + x + 4$
$4x - 3x - x \ge 39 + 4 - 8$
$0 \cdot x \ge 35$
Нерівність $0 \ge 35$ неправильна за будь-якого значення $x$, тож нерівність не має розв'язків.
4) $(x - 1)^2 - (x - 1)(x + 1) \le 5 - 2x$
$x^2 - 2x + 1 - (x^2 - 1) \le 5 - 2x$
$x^2 - 2x + 1 - x^2 + 1 \le 5 - 2x$
$-2x + 2x \le 5 - 2$
$0 \cdot x \le 3$
Нерівність $0 \le 3$ правильна за будь-якого значення $x$, тож $x$ — будь-яке число.
Відповідь: 1), 4) $(-\infty; +\infty)$;
2), 3) нерівність не має розв'язків.
296. Розв'яжіть нерівність:
1) $4x + 7 \gt 2(2x - 7)$;
2) $x - 2 - \frac{7x}{8} \le \frac{x}{8} - 6$;
3) $4x + (x - 3)(x + 3) \ge (x + 2)^2$;
4) $(x - 2)(2x - 3) \lt 2x(x - 3{,}5) + 13$.
Розв'язок:
1) $4x + 7 \gt 2(2x - 7)$
$4x + 7 \gt 4x - 14$
$4x - 4x \gt -14 - 7$
$0 \cdot x \gt -21$
Нерівність $0 \gt -21$ правильна за будь-якого значення $x$, тож $x$ — будь-яке число.
2) $x - 2 - \frac{7x}{8} \le \frac{x}{8} - 6$ $\quad | \cdot 8$
$8x - 16 - 7x \le x - 48$
$8x - 7x - x \le -48 + 16$
$0 \cdot x \le -32$
Нерівність $0 \le -32$ неправильна за будь-якого значення $x$, тож нерівність не має розв'язків.
3) $4x + (x - 3)(x + 3) \ge (x + 2)^2$
$4x + x^2 - 9 \ge x^2 + 4x + 4$
$4x - 4x + x^2 - x^2 \ge 4 + 9$
$0 \cdot x \ge 13$
Нерівність $0 \ge 13$ неправильна за будь-якого значення $x$, тож нерівність не має розв'язків.
4) $(x - 2)(2x - 3) \lt 2x(x - 3{,}5) + 13$
$2x^2 - 3x - 4x + 6 \lt 2x^2 - 7x + 13$
$2x^2 - 7x - 2x^2 + 7x \lt 13 - 6$
$0 \cdot x \lt 7$
Нерівність $0 \lt 7$ правильна за будь-якого значення $x$, тож $x$ — будь-яке число.
Відповідь: 1), 4) $(-\infty; +\infty)$;
2), 3) нерівність не має розв'язків.
297. За яких значень $a$:
1) рівняння $3x - 5 = a$ має додатний корінь;
2) рівняння $3 + 2x = a - 4$ має від'ємний корінь?
Розв'язок:
1) $3x - 5 = a$
$3x = a + 5$
$x = \frac{a + 5}{3}$
Корінь додатний, якщо $\frac{a + 5}{3} \gt 0$, тобто $a + 5 \gt 0$, $a \gt -5$.
2) $3 + 2x = a - 4$
$2x = a - 7$
$x = \frac{a - 7}{2}$
Корінь від'ємний, якщо $\frac{a - 7}{2} \lt 0$, тобто $a - 7 \lt 0$, $a \lt 7$.
Відповідь: 1) $a \gt -5$;
2) $a \lt 7$.
298. Чи існує таке значення $a$, щоб нерівність:
1) $ax \gt 3$ не мала розв'язків;
2) $ax \lt 5$ мала розв'язком будь-яке значення $x$?
У разі позитивної відповіді вкажіть таке значення.
Розв'язок:
1) Якщо $a \ne 0$, нерівність має розв'язки ($x \gt \frac{3}{a}$ або $x \lt \frac{3}{a}$). Якщо $a = 0$, маємо $0 \cdot x \gt 3$, тобто $0 \gt 3$ — неправильна нерівність за будь-якого $x$, розв'язків немає.
2) Якщо $a \ne 0$, то, наприклад, $x = \frac{5}{a}$ не є розв'язком (маємо $5 \lt 5$ — неправильно). Якщо $a = 0$, маємо $0 \cdot x \lt 5$, тобто $0 \lt 5$ — правильна нерівність за будь-якого $x$.
Відповідь: 1) так, $a = 0$;
2) так, $a = 0$.
299. За якого значення $a$ нерівність $ax \gt 3x + 7$ не має розв'язків?
Розв'язок:
$ax - 3x \gt 7$
$(a - 3)x \gt 7$
Якщо $a - 3 \ne 0$, нерівність має розв'язки. Якщо $a = 3$, маємо $0 \cdot x \gt 7$, тобто $0 \gt 7$ — неправильна нерівність за будь-якого $x$, розв'язків немає.
Відповідь: $a = 3$.
300. За яких значень $a$ рівняння не має дійсних розв'язків:
1) $x^2 + 4x - 2a = 0$;
2) $ax^2 + 2(a + 1)x + a + 3 = 0$;
3) $x^2 + 2ax + 1 - 2a + 2a^2 = 0$?
Розв'язок:
1) Квадратне рівняння не має коренів, якщо $D \lt 0$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) = 16 + 8a$.
$16 + 8a \lt 0$
$8a \lt -16$
$a \lt -2$
2) Якщо $a = 0$, рівняння має вигляд $2x + 3 = 0$, його корінь $x = -1{,}5$ — розв'язок є.
Якщо $a \ne 0$, рівняння квадратне:
$D = (2(a + 1))^2 - 4a(a + 3) =$
$= 4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 - 12a =$
$= 4 - 4a$.
$4 - 4a \lt 0$
$-4a \lt -4$
$a \gt 1$
3) $D = (2a)^2 - 4(1 - 2a + 2a^2) =$
$= 4a^2 - 4 + 8a - 8a^2 =$
$= -4a^2 + 8a - 4 = -4(a - 1)^2$.
$-4(a - 1)^2 \lt 0$, якщо $(a - 1)^2 \gt 0$, тобто $a \ne 1$.
Відповідь: 1) $a \lt -2$;
2) $a \gt 1$;
3) $a \ne 1$.