Сторінка 34
301. За яких значень $b$ рівняння має два різних дійсних корені:
1) $x^2 - 6x + 5b = 0$;
2) $bx^2 - (2b + 1)x + (b + 2) = 0$;
3) $x^2 + 2(1 - b)x + 10 + 4b + 2b^2 = 0$?
Розв'язок:
1) Квадратне рівняння має два різних корені, якщо $D \gt 0$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5b = 36 - 20b$.
$36 - 20b \gt 0$
$-20b \gt -36$
$b \lt 1{,}8$
2) Якщо $b = 0$, рівняння має вигляд $-x + 2 = 0$ — лише один корінь $x = 2$.
Якщо $b \ne 0$, рівняння квадратне:
$D = (2b + 1)^2 - 4b(b + 2) =$
$= 4b^2 + 4b + 1 - 4b^2 - 8b =$
$= 1 - 4b$.
$1 - 4b \gt 0$
$-4b \gt -1$
$b \lt 0{,}25$
Ураховуючи $b \ne 0$: $b \lt 0$ або $0 \lt b \lt 0{,}25$.
3) $D = 4(1 - b)^2 - 4(10 + 4b + 2b^2) =$
$= 4 - 8b + 4b^2 - 40 - 16b - 8b^2 =$
$= -4b^2 - 24b - 36 = -4(b + 3)^2$.
$-4(b + 3)^2 \le 0$ за будь-якого $b$, тож $D \gt 0$ не буває.
Відповідь: 1) $b \lt 1{,}8$;
2) $b \lt 0$ або $0 \lt b \lt 0{,}25$;
3) таких значень $b$ немає.
302. За яких значень $c$ рівняння:
1) $cx^2 + 2(c - 3)x + (c + 1) = 0$ не має дійсних розв'язків;
2) $(c - 1)x^2 - (2c + 5)x + c = 0$ має два різних дійсних корені?
Розв'язок:
1) Якщо $c = 0$, рівняння має вигляд $-6x + 1 = 0$, його корінь $x = \frac{1}{6}$ — розв'язок є.
Якщо $c \ne 0$, рівняння квадратне і не має коренів, якщо $D \lt 0$:
$D = (2(c - 3))^2 - 4c(c + 1) =$
$= 4c^2 - 24c + 36 - 4c^2 - 4c =$
$= 36 - 28c$.
$36 - 28c \lt 0$
$-28c \lt -36$
$c \gt \frac{9}{7}$
$c \gt 1\frac{2}{7}$
2) Якщо $c = 1$, рівняння має вигляд $-7x + 1 = 0$ — лише один корінь.
Якщо $c \ne 1$, рівняння квадратне:
$D = (2c + 5)^2 - 4c(c - 1) =$
$= 4c^2 + 20c + 25 - 4c^2 + 4c =$
$= 24c + 25$.
$24c + 25 \gt 0$
$24c \gt -25$
$c \gt -\frac{25}{24}$
$c \gt -1\frac{1}{24}$
Ураховуючи $c \ne 1$: $-1\frac{1}{24} \lt c \lt 1$ або $c \gt 1$.
Відповідь: 1) $c \gt 1\frac{2}{7}$;
2) $-1\frac{1}{24} \lt c \lt 1$ або $c \gt 1$.
303. Довжина однієї зі сторін прямокутника 7 см. Якою має бути довжина другої сторони, щоб периметр цього прямокутника був більшим за периметр рівностороннього трикутника зі стороною 15 см?
Розв'язок:
Периметр трикутника: $3 \cdot 15 = 45$ (см).
Нехай друга сторона прямокутника $x$ см. Тоді його периметр $2(7 + x)$ см.
$2(7 + x) \gt 45$
$14 + 2x \gt 45$
$2x \gt 31$
$x \gt 15{,}5$
Відповідь: більшою за 15,5 см.
304. Два виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 4 см і 10 см. Яким має бути третій вимір цього прямокутного паралелепіпеда, щоб його об'єм був більшим за об'єм куба з ребром 6 см?
Розв'язок:
Об'єм куба: $6^3 = 216$ (см³).
Нехай третій вимір $x$ см. Тоді об'єм паралелепіпеда $4 \cdot 10 \cdot x = 40x$ см³.
$40x \gt 216$
$x \gt 5{,}4$
Відповідь: більшим за 5,4 см.
305. Два натуральних числа відносяться як $2 : 3$, а їхня сума менша від 143. Якого найбільшого значення може набувати менше із цих чисел?
Розв'язок:
Нехай числа $2k$ і $3k$, де $k$ — натуральне число.
$2k + 3k \lt 143$
$5k \lt 143$
$k \lt 28{,}6$
Найбільше натуральне $k = 28$, тоді менше число $2 \cdot 28 = 56$.
Відповідь: 56.
306. Два натуральних числа відносяться як $5 : 2$, а їхня сума більша за 712. Якого найменшого значення може набувати більше із цих чисел?
Розв'язок:
Нехай числа $5k$ і $2k$, де $k$ — натуральне число.
$5k + 2k \gt 712$
$7k \gt 712$
$k \gt 101\frac{5}{7}$
Найменше натуральне $k = 102$, тоді більше число $5 \cdot 102 = 510$.
Відповідь: 510.
307. Сума трьох послідовних парних натуральних чисел не більша за 130. Якого найбільшого значення може набувати добуток цих трьох чисел?
Розв'язок:
Нехай числа $x$, $x + 2$, $x + 4$, де $x$ — парне натуральне число.
$x + x + 2 + x + 4 \le 130$
$3x + 6 \le 130$
$3x \le 124$
$x \le 41\frac{1}{3}$
Найбільше парне $x = 40$; числа $40$, $42$, $44$. Що більші числа, то більший добуток, тож найбільший добуток:
$40 \cdot 42 \cdot 44 = 73\,920$.
Відповідь: 73 920.
308. Розв'яжіть нерівність для всіх дійсних значень $a$:
1) $ax \gt 2$;
2) $ax \ge 0$;
3) $ax \lt 0$;
4) $-ax \lt 3$.
Розв'язок:
1) Якщо $a \gt 0$, то $x \gt \frac{2}{a}$.
Якщо $a \lt 0$, то $x \lt \frac{2}{a}$ (ділимо на від'ємне число — знак змінюється).
Якщо $a = 0$, то $0 \cdot x \gt 2$, тобто $0 \gt 2$ — розв'язків немає.
2) Якщо $a \gt 0$, то $x \ge 0$.
Якщо $a \lt 0$, то $x \le 0$.
Якщо $a = 0$, то $0 \cdot x \ge 0$, тобто $0 \ge 0$ — $x$ — будь-яке число.
3) Якщо $a \gt 0$, то $x \lt 0$.
Якщо $a \lt 0$, то $x \gt 0$.
Якщо $a = 0$, то $0 \cdot x \lt 0$, тобто $0 \lt 0$ — розв'язків немає.
4) Якщо $a \gt 0$, то $-a \lt 0$ і $x \gt -\frac{3}{a}$.
Якщо $a \lt 0$, то $-a \gt 0$ і $x \lt -\frac{3}{a}$.
Якщо $a = 0$, то $0 \cdot x \lt 3$, тобто $0 \lt 3$ — $x$ — будь-яке число.
Відповідь: 1) якщо $a \gt 0$, то $x \gt \frac{2}{a}$; якщо $a \lt 0$, то $x \lt \frac{2}{a}$; якщо $a = 0$, то розв'язків немає;
2) якщо $a \gt 0$, то $x \ge 0$; якщо $a \lt 0$, то $x \le 0$; якщо $a = 0$, то $x$ — будь-яке число;
3) якщо $a \gt 0$, то $x \lt 0$; якщо $a \lt 0$, то $x \gt 0$; якщо $a = 0$, то розв'язків немає;
4) якщо $a \gt 0$, то $x \gt -\frac{3}{a}$; якщо $a \lt 0$, то $x \lt -\frac{3}{a}$; якщо $a = 0$, то $x$ — будь-яке число.
309. Розв'яжіть нерівність для всіх дійсних значень $a$:
1) $(a - 2)x \lt 3$;
2) $ax \gt a$;
3) $(a + 1)x \le 0$.
Розв'язок:
1) Якщо $a - 2 \gt 0$, тобто $a \gt 2$, то $x \lt \frac{3}{a - 2}$.
Якщо $a \lt 2$, то $x \gt \frac{3}{a - 2}$.
Якщо $a = 2$, то $0 \cdot x \lt 3$, тобто $0 \lt 3$ — $x$ — будь-яке число.
2) Якщо $a \gt 0$, то $x \gt 1$.
Якщо $a \lt 0$, то $x \lt 1$.
Якщо $a = 0$, то $0 \cdot x \gt 0$, тобто $0 \gt 0$ — розв'язків немає.
3) Якщо $a + 1 \gt 0$, тобто $a \gt -1$, то $x \le 0$.
Якщо $a \lt -1$, то $x \ge 0$.
Якщо $a = -1$, то $0 \cdot x \le 0$, тобто $0 \le 0$ — $x$ — будь-яке число.
Відповідь: 1) якщо $a \gt 2$, то $x \lt \frac{3}{a - 2}$; якщо $a \lt 2$, то $x \gt \frac{3}{a - 2}$; якщо $a = 2$, то $x$ — будь-яке число;
2) якщо $a \gt 0$, то $x \gt 1$; якщо $a \lt 0$, то $x \lt 1$; якщо $a = 0$, то розв'язків немає;
3) якщо $a \gt -1$, то $x \le 0$; якщо $a \lt -1$, то $x \ge 0$; якщо $a = -1$, то $x$ — будь-яке число.
310. Розв'яжіть нерівність для всіх дійсних значень $a$:
1) $3 + ax \ge a - 2x$;
2) $4(a - x) \lt 16 - ax$;
3) $(a - 1)x \gt a^2 - 1$;
4) $(a^2 - 25)x \le a - 5$.
Розв'язок:
1) $3 + ax \ge a - 2x$
$ax + 2x \ge a - 3$
$(a + 2)x \ge a - 3$
Якщо $a \gt -2$, то $x \ge \frac{a - 3}{a + 2}$.
Якщо $a \lt -2$, то $x \le \frac{a - 3}{a + 2}$.
Якщо $a = -2$, то $0 \cdot x \ge -5$, тобто $0 \ge -5$ — $x$ — будь-яке число.
2) $4(a - x) \lt 16 - ax$
$4a - 4x \lt 16 - ax$
$ax - 4x \lt 16 - 4a$
$(a - 4)x \lt -4(a - 4)$
Якщо $a \gt 4$, то $x \lt -4$.
Якщо $a \lt 4$, то $x \gt -4$.
Якщо $a = 4$, то $0 \cdot x \lt 0$, тобто $0 \lt 0$ — розв'язків немає.
3) $(a - 1)x \gt (a - 1)(a + 1)$
Якщо $a \gt 1$, то $x \gt a + 1$.
Якщо $a \lt 1$, то $x \lt a + 1$.
Якщо $a = 1$, то $0 \cdot x \gt 0$, тобто $0 \gt 0$ — розв'язків немає.
4) $(a - 5)(a + 5)x \le a - 5$
Якщо $a = 5$, то $0 \cdot x \le 0$, тобто $0 \le 0$ — $x$ — будь-яке число.
Якщо $a = -5$, то $0 \cdot x \le -10$, тобто $0 \le -10$ — розв'язків немає.
Якщо $a^2 - 25 \gt 0$, тобто $a \lt -5$ або $a \gt 5$, то $x \le \frac{a - 5}{(a - 5)(a + 5)}$, $x \le \frac{1}{a + 5}$.
Якщо $a^2 - 25 \lt 0$, тобто $-5 \lt a \lt 5$, то $x \ge \frac{1}{a + 5}$.
Відповідь: 1) якщо $a \gt -2$, то $x \ge \frac{a - 3}{a + 2}$; якщо $a \lt -2$, то $x \le \frac{a - 3}{a + 2}$; якщо $a = -2$, то $x$ — будь-яке число;
2) якщо $a \gt 4$, то $x \lt -4$; якщо $a \lt 4$, то $x \gt -4$; якщо $a = 4$, то розв'язків немає;
3) якщо $a \gt 1$, то $x \gt a + 1$; якщо $a \lt 1$, то $x \lt a + 1$; якщо $a = 1$, то розв'язків немає;
4) якщо $a = 5$, то $x$ — будь-яке число; якщо $a = -5$, то розв'язків немає; якщо $a \lt -5$ або $a \gt 5$, то $x \le \frac{1}{a + 5}$; якщо $-5 \lt a \lt 5$, то $x \ge \frac{1}{a + 5}$.
311. Чи є число 2 розв'язком системи нерівностей:
1) $\begin{cases} 2x \gt 3, \\ 3x \lt 5; \end{cases}$
2) $\begin{cases} x + 2 \gt 0, \\ 3 - x \lt 2; \end{cases}$
3) $\begin{cases} 4x + 3 \lt 15, \\ 3 - 2x \gt -1? \end{cases}$
Розв'язок:
1) $2 \cdot 2 = 4 \gt 3$ — правильно; $3 \cdot 2 = 6 \lt 5$ — неправильно. Число 2 не є розв'язком системи.
2) $2 + 2 = 4 \gt 0$ — правильно; $3 - 2 = 1 \lt 2$ — правильно. Число 2 є розв'язком системи.
3) $4 \cdot 2 + 3 = 11 \lt 15$ — правильно; $3 - 2 \cdot 2 = -1 \gt -1$ — неправильно. Число 2 не є розв'язком системи.
Відповідь: 1) ні;
2) так;
3) ні.
312. Які з чисел $-2$; $0$; $4$; $5\frac{1}{3}$; $8$ є розв'язками системи $\begin{cases} 2x - 3 \gt 1, \\ 3x - 5 \lt 16? \end{cases}$
Розв'язок:
$\begin{cases} 2x \gt 4, \\ 3x \lt 21; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt 2, \\ x \lt 7. \end{cases}$
Розв'язки системи — проміжок $(2; 7)$. Йому належать числа $4$ і $5\frac{1}{3}$; числа $-2$, $0$ і $8$ — не належать.
Відповідь: $4$; $5\frac{1}{3}$.
313. Чи є числа $0$; $2$; $5$; $6\frac{1}{7}$; $8$ розв'язками системи:
1) $\begin{cases} x \gt 3, \\ x \lt 7; \end{cases}$
2) $\begin{cases} x \ge 0, \\ x \le 5; \end{cases}$
3) $\begin{cases} 2x - 3 \gt 9, \\ 3x - 4 \lt 20? \end{cases}$
Розв'язок:
1) Розв'язки системи — проміжок $(3; 7)$. Йому належать $5$ і $6\frac{1}{7}$; не належать $0$, $2$, $8$.
2) Розв'язки системи — проміжок $[0; 5]$. Йому належать $0$, $2$, $5$; не належать $6\frac{1}{7}$, $8$.
3) $\begin{cases} 2x \gt 12, \\ 3x \lt 24; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt 6, \\ x \lt 8. \end{cases}$
Розв'язки системи — проміжок $(6; 8)$. Йому належить лише $6\frac{1}{7}$; не належать $0$, $2$, $5$, $8$.
Відповідь: 1) $5$ і $6\frac{1}{7}$ — так; $0$, $2$, $8$ — ні;
2) $0$, $2$, $5$ — так; $6\frac{1}{7}$, $8$ — ні;
3) $6\frac{1}{7}$ — так; $0$, $2$, $5$, $8$ — ні.
314. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $\begin{cases} x \gt 2, \\ x \le 10; \end{cases}$
2) $\begin{cases} x \gt 1{,}8, \\ x \ge 2{,}5; \end{cases}$
3) $\begin{cases} x \lt 4, \\ x \lt 0; \end{cases}$
4) $\begin{cases} x \lt -1, \\ x \ge 0. \end{cases}$
Розв'язок:
1) Перетин проміжків $(2; +\infty)$ і $(-\infty; 10]$ — проміжок $(2; 10]$.
2) Перетин проміжків $(1{,}8; +\infty)$ і $[2{,}5; +\infty)$ — проміжок $[2{,}5; +\infty)$.
3) Перетин проміжків $(-\infty; 4)$ і $(-\infty; 0)$ — проміжок $(-\infty; 0)$.
4) Проміжки $(-\infty; -1)$ і $[0; +\infty)$ не мають спільних точок — система не має розв'язків.
Відповідь: 1) $(2; 10]$;
2) $[2{,}5; +\infty)$;
3) $(-\infty; 0)$;
4) система не має розв'язків.