Сторінка 36
324. Розв'яжіть подвійну нерівність:
1) $7 \le 7x \le 21$;
2) $-8 \lt -4x \le 16$;
3) $-5 \le x - 3 \lt 0$;
4) $0 \lt x + 3 \lt 7$.
Розв'язок:
1) $7 \le 7x \le 21 \quad | : 7$
$1 \le x \le 3$
2) $-8 \lt -4x \le 16 \quad | : (-4)$
$2 \gt x \ge -4$, тобто $-4 \le x \lt 2$
У «Відповідях» посібника до 2) — «$-4 \le x \le 2$», ймовірно, друкарська помилка: за $x = 2$ маємо $-4x = -8$, а нерівність $-8 \lt -8$ неправильна.
3) $-5 \le x - 3 \lt 0 \quad | + 3$
$-2 \le x \lt 3$
4) $0 \lt x + 3 \lt 7 \quad | - 3$
$-3 \lt x \lt 4$
Відповідь: 1) $[1; 3]$;
2) $[-4; 2)$;
3) $[-2; 3)$;
4) $(-3; 4)$.
325. За яких значень $x$ обидві функції $y = 0{,}3x - 3$ та $y = -0{,}1x + 5$ набувають додатних значень?
Розв'язок:
$\begin{cases} 0{,}3x - 3 \gt 0, \\ -0{,}1x + 5 \gt 0; \end{cases}$
$\begin{cases} 0{,}3x \gt 3, \\ -0{,}1x \gt -5; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt 10, \\ x \lt 50. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(10; 50)$.
Відповідь: за $10 \lt x \lt 50$.
326. За яких значень $x$ обидві функції $y = 0{,}2x - 2$ та $y = -0{,}1x + 2$ набувають від'ємних значень?
Розв'язок:
$\begin{cases} 0{,}2x - 2 \lt 0, \\ -0{,}1x + 2 \lt 0; \end{cases}$
$\begin{cases} 0{,}2x \lt 2, \\ -0{,}1x \lt -2; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt 10, \\ x \gt 20. \end{cases}$
Проміжки $(-\infty; 10)$ і $(20; +\infty)$ не мають спільних точок.
Відповідь: таких значень $x$ немає.
327. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $(x + 1)(x + 2) - (x - 1)(x + 1) \lt 6$,
$(x + 6)(x - 3) \gt x(x + 2) - 12$;
2) $(2x + 1)^2 - 4x \ge$
$\ge (2x - 1)(2x + 1) + 2x$,
$x(3x - 7) \le 3x(x - 2) + 5$.
Розв'язок:
1) Розкриємо дужки:
$x^2 + 3x + 2 - (x^2 - 1) \lt 6$;
$3x + 3 \lt 6$;
$3x \lt 3$;
$x \lt 1$.
$x^2 + 3x - 18 \gt x^2 + 2x - 12$;
$3x - 2x \gt -12 + 18$;
$x \gt 6$.
$\begin{cases} x \lt 1, \\ x \gt 6. \end{cases}$
Проміжки $(-\infty; 1)$ і $(6; +\infty)$ не мають спільних точок — система не має розв'язків.
2) $4x^2 + 4x + 1 - 4x \ge 4x^2 - 1 + 2x$;
$4x^2 + 1 \ge 4x^2 - 1 + 2x$;
$-2x \ge -2$;
$x \le 1$.
$3x^2 - 7x \le 3x^2 - 6x + 5$;
$-7x + 6x \le 5$;
$-x \le 5$;
$x \ge -5$.
$\begin{cases} x \le 1, \\ x \ge -5. \end{cases}$
Перетин — проміжок $[-5; 1]$.
Відповідь: 1) система не має розв'язків;
2) $[-5; 1]$.
328. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $\begin{cases} 1 - \frac{1 - x}{2} \lt 4 - \frac{5 + 5x}{3}, \\ 2 - \frac{x + 8}{4} \gt 0; \end{cases}$
2) $\begin{cases} \frac{2x - 1}{6} + \frac{x + 2}{3} - \frac{x - 8}{2} \gt x - 1, \\ 2 - 2x \gt 0{,}5 + 0{,}5x. \end{cases}$
Розв'язок:
1) Першу нерівність помножимо на $6$:
$6 - 3(1 - x) \lt 24 - 2(5 + 5x)$;
$6 - 3 + 3x \lt 24 - 10 - 10x$;
$3x + 10x \lt 14 - 3$;
$13x \lt 11$;
$x \lt \frac{11}{13}$.
Другу нерівність помножимо на $4$:
$8 - (x + 8) \gt 0$;
$-x \gt 0$;
$x \lt 0$.
$\begin{cases} x \lt \frac{11}{13}, \\ x \lt 0. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(-\infty; 0)$.
2) Першу нерівність помножимо на $6$:
$2x - 1 + 2(x + 2) - 3(x - 8) \gt$
$\gt 6(x - 1)$;
$2x - 1 + 2x + 4 - 3x + 24 \gt 6x - 6$;
$x + 27 \gt 6x - 6$;
$-5x \gt -33$;
$x \lt 6{,}6$.
$2 - 2x \gt 0{,}5 + 0{,}5x$;
$-2{,}5x \gt -1{,}5$;
$x \lt 0{,}6$.
$\begin{cases} x \lt 6{,}6, \\ x \lt 0{,}6. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(-\infty; 0{,}6)$.
Відповідь: 1) $(-\infty; 0)$;
2) $(-\infty; 0{,}6)$.
329. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $\begin{cases} 2 - \frac{3 + 2x}{3} \gt 1 - \frac{x + 6}{2}, \\ 3 - \frac{x}{4} \lt x; \end{cases}$
2) $\begin{cases} \frac{x - 1}{2} - \frac{x - 2}{3} \ge \frac{x - 3}{4} - x, \\ 1 - x \gt 0{,}5x - 4. \end{cases}$
Розв'язок:
1) Першу нерівність помножимо на $6$:
$12 - 2(3 + 2x) \gt 6 - 3(x + 6)$;
$12 - 6 - 4x \gt 6 - 3x - 18$;
$6 - 4x \gt -12 - 3x$;
$-x \gt -18$;
$x \lt 18$.
Другу нерівність помножимо на $4$:
$12 - x \lt 4x$;
$-5x \lt -12$;
$x \gt 2{,}4$.
$\begin{cases} x \lt 18, \\ x \gt 2{,}4. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(2{,}4; 18)$.
2) Першу нерівність помножимо на $12$:
$6(x - 1) - 4(x - 2) \ge$
$\ge 3(x - 3) - 12x$;
$6x - 6 - 4x + 8 \ge 3x - 9 - 12x$;
$2x + 2 \ge -9x - 9$;
$11x \ge -11$;
$x \ge -1$.
$1 - x \gt 0{,}5x - 4$;
$-1{,}5x \gt -5$;
$x \lt \frac{10}{3}$;
$x \lt 3\frac{1}{3}$.
$\begin{cases} x \ge -1, \\ x \lt 3\frac{1}{3}. \end{cases}$
Перетин — проміжок $\left[-1; 3\frac{1}{3}\right)$.
Відповідь: 1) $(2{,}4; 18)$;
2) $\left[-1; 3\frac{1}{3}\right)$.
330. Укажіть допустимі значення змінної у виразі:
1) $\sqrt{4 - 2x} + \sqrt{1 - x}$;
2) $\frac{10}{\sqrt{3 - x}} + \sqrt{x}$;
3) $\frac{7}{\sqrt{2x + 7}} + \sqrt{2 - x}$;
4) $\frac{1}{\sqrt{2x + 2}} + \frac{1}{\sqrt{7x - 5}}$.
Розв'язок:
1) $\begin{cases} 4 - 2x \ge 0, \\ 1 - x \ge 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \le 2, \\ x \le 1. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(-\infty; 1]$.
2) Корінь у знаменнику — додатний:
$\begin{cases} 3 - x \gt 0, \\ x \ge 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt 3, \\ x \ge 0. \end{cases}$
Перетин — проміжок $[0; 3)$.
3) $\begin{cases} 2x + 7 \gt 0, \\ 2 - x \ge 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt -3{,}5, \\ x \le 2. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(-3{,}5; 2]$.
4) $\begin{cases} 2x + 2 \gt 0, \\ 7x - 5 \gt 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt -1, \\ x \gt \frac{5}{7}. \end{cases}$
Перетин — проміжок $\left(\frac{5}{7}; +\infty\right)$.
Відповідь: 1) $(-\infty; 1]$;
2) $[0; 3)$;
3) $(-3{,}5; 2]$;
4) $\left(\frac{5}{7}; +\infty\right)$.
331. За яких значень змінної має зміст вираз:
1) $\sqrt{5x - 10} + \sqrt{3x - 7}$;
2) $\sqrt{7x + 9} + \frac{1}{\sqrt{3 - 5x}}$;
3) $\sqrt{4x - 8} + \sqrt{1 - x}$;
4) $\frac{14}{\sqrt{13 - x}} + \frac{1}{\sqrt{x + 4}}$?
Розв'язок:
1) $\begin{cases} 5x - 10 \ge 0, \\ 3x - 7 \ge 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 2, \\ x \ge 2\frac{1}{3}. \end{cases}$
Перетин — проміжок $\left[2\frac{1}{3}; +\infty\right)$.
2) $\begin{cases} 7x + 9 \ge 0, \\ 3 - 5x \gt 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge -1\frac{2}{7}, \\ x \lt \frac{3}{5}. \end{cases}$
Перетин — проміжок $\left[-1\frac{2}{7}; \frac{3}{5}\right)$.
3) $\begin{cases} 4x - 8 \ge 0, \\ 1 - x \ge 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 2, \\ x \le 1. \end{cases}$
Спільних точок немає — таких значень змінної немає.
4) $\begin{cases} 13 - x \gt 0, \\ x + 4 \gt 0; \end{cases}$
$\begin{cases} x \lt 13, \\ x \gt -4. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(-4; 13)$.
Відповідь: 1) $\left[2\frac{1}{3}; +\infty\right)$;
2) $\left[-1\frac{2}{7}; \frac{3}{5}\right)$;
3) немає значень $x$, за яких вираз має зміст;
4) $(-4; 13)$.
332. Розв'яжіть подвійну нерівність:
1) $-4 \le \frac{2x + 1}{2} \lt 0$;
2) $-1{,}5 \lt \frac{3 - x}{4} \le 2{,}5$.
Розв'язок:
1) $-4 \le \frac{2x + 1}{2} \lt 0 \quad | \cdot 2$
$-8 \le 2x + 1 \lt 0 \quad | - 1$
$-9 \le 2x \lt -1 \quad | : 2$
$-4{,}5 \le x \lt -0{,}5$
2) $-1{,}5 \lt \frac{3 - x}{4} \le 2{,}5 \quad | \cdot 4$
$-6 \lt 3 - x \le 10 \quad | - 3$
$-9 \lt -x \le 7 \quad | \cdot (-1)$
$9 \gt x \ge -7$, тобто $-7 \le x \lt 9$
Відповідь: 1) $[-4{,}5; -0{,}5)$;
2) $[-7; 9)$.
333. Знайдіть цілі розв'язки нерівності:
1) $0 \lt 1 + 4x \lt 17$;
2) $\frac{5}{3} \le \frac{0{,}2x - 1}{3} \lt 2$.
Розв'язок:
1) $0 \lt 1 + 4x \lt 17 \quad | - 1$
$-1 \lt 4x \lt 16 \quad | : 4$
$-0{,}25 \lt x \lt 4$
Цілі числа: $0$; $1$; $2$; $3$.
2) $\frac{5}{3} \le \frac{0{,}2x - 1}{3} \lt 2 \quad | \cdot 3$
$5 \le 0{,}2x - 1 \lt 6 \quad | + 1$
$6 \le 0{,}2x \lt 7 \quad | : 0{,}2$
$30 \le x \lt 35$
Цілі числа: $30$; $31$; $32$; $33$; $34$.
Відповідь: 1) $0$; $1$; $2$; $3$;
2) $30$; $31$; $32$; $33$; $34$.