Сторінка 37
334. Розв'яжіть подвійну нерівність:
1) $7 \lt 2x - 3 \lt 13$;
2) $-2 \le 3 - x \le 5$;
3) $0 \le \frac{8x - 7}{2} \lt \frac{1}{2}$;
4) $-1 \lt \frac{2 - 3x}{7} \lt 1$.
Розв'язок:
1) $7 \lt 2x - 3 \lt 13 \quad | + 3$
$10 \lt 2x \lt 16 \quad | : 2$
$5 \lt x \lt 8$
2) $-2 \le 3 - x \le 5 \quad | - 3$
$-5 \le -x \le 2 \quad | \cdot (-1)$
$5 \ge x \ge -2$, тобто $-2 \le x \le 5$
3) $0 \le \frac{8x - 7}{2} \lt \frac{1}{2} \quad | \cdot 2$
$0 \le 8x - 7 \lt 1 \quad | + 7$
$7 \le 8x \lt 8 \quad | : 8$
$\frac{7}{8} \le x \lt 1$
4) $-1 \lt \frac{2 - 3x}{7} \lt 1 \quad | \cdot 7$
$-7 \lt 2 - 3x \lt 7 \quad | - 2$
$-9 \lt -3x \lt 5 \quad | : (-3)$
$3 \gt x \gt -1\frac{2}{3}$, тобто $-1\frac{2}{3} \lt x \lt 3$
Відповідь: 1) $(5; 8)$;
2) $[-2; 5]$;
3) $\left[\frac{7}{8}; 1\right)$;
4) $\left(-1\frac{2}{3}; 3\right)$.
335. За яких значень $x$:
1) значення двочлена $10 - 2x$ належить проміжку $(-4; 4)$;
2) значення дробу $\frac{5x + 1}{2}$ належить проміжку $[-1; 2]$?
Розв'язок:
1) $-4 \lt 10 - 2x \lt 4 \quad | - 10$
$-14 \lt -2x \lt -6 \quad | : (-2)$
$7 \gt x \gt 3$, тобто $3 \lt x \lt 7$
2) $-1 \le \frac{5x + 1}{2} \le 2 \quad | \cdot 2$
$-2 \le 5x + 1 \le 4 \quad | - 1$
$-3 \le 5x \le 3 \quad | : 5$
$-\frac{3}{5} \le x \le \frac{3}{5}$
Відповідь: 1) $3 \lt x \lt 7$;
2) $-\frac{3}{5} \le x \le \frac{3}{5}$.
336. За яких значень $x$:
1) значення двочлена $3 - 5x$ належить проміжку $(-6; 6)$;
2) значення дробу $\frac{2x + 1}{3}$ належить проміжку $[-4; 0]$?
Розв'язок:
1) $-6 \lt 3 - 5x \lt 6 \quad | - 3$
$-9 \lt -5x \lt 3 \quad | : (-5)$
$1\frac{4}{5} \gt x \gt -\frac{3}{5}$, тобто $-\frac{3}{5} \lt x \lt 1\frac{4}{5}$
2) $-4 \le \frac{2x + 1}{3} \le 0 \quad | \cdot 3$
$-12 \le 2x + 1 \le 0 \quad | - 1$
$-13 \le 2x \le -1 \quad | : 2$
$-6{,}5 \le x \le -0{,}5$
Відповідь: 1) $-\frac{3}{5} \lt x \lt 1\frac{4}{5}$;
2) $-6{,}5 \le x \le -0{,}5$.
337. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $\begin{cases} x \gt 6, \\ x \lt 12, \\ x \lt 20; \end{cases}$
2) $\begin{cases} 3x \gt 7, \\ 6x \lt 20, \\ 5x \gt 15; \end{cases}$
3) $\begin{cases} x - 8 \gt 4, \\ 2x + 6 \gt 1, \\ 6 - x \gt 26. \end{cases}$
Розв'язок:
1) Спільна частина проміжків $(6; +\infty)$, $(-\infty; 12)$ і $(-\infty; 20)$ — проміжок $(6; 12)$.
2) $\begin{cases} x \gt 2\frac{1}{3}, \\ x \lt 3\frac{1}{3}, \\ x \gt 3. \end{cases}$
Перетин — проміжок $\left(3; 3\frac{1}{3}\right)$.
3) $\begin{cases} x \gt 12, \\ 2x \gt -5, \\ -x \gt 20; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt 12, \\ x \gt -2{,}5, \\ x \lt -20. \end{cases}$
Проміжки $(12; +\infty)$ і $(-\infty; -20)$ не мають спільних точок — система не має розв'язків.
Відповідь: 1) $(6; 12)$;
2) $\left(3; 3\frac{1}{3}\right)$;
3) система не має розв'язків.
338. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $\begin{cases} 3x - 1 \lt 0, \\ 0 \le 2x \lt 4; \end{cases}$
2) $\begin{cases} 2{,}7x \gt 0, \\ -3 \lt x + 2 \le 3; \end{cases}$
3) $\begin{cases} 2 + 8x \ge 10, \\ -2 \lt -x \lt 3. \end{cases}$
Розв'язок:
1) $\begin{cases} x \lt \frac{1}{3}, \\ 0 \le x \lt 2. \end{cases}$
Перетин — проміжок $\left[0; \frac{1}{3}\right)$.
2) $\begin{cases} x \gt 0, \\ -5 \lt x \le 1. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(0; 1]$.
3) $\begin{cases} 8x \ge 8, \\ 2 \gt x \gt -3; \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 1, \\ -3 \lt x \lt 2. \end{cases}$
Перетин — проміжок $[1; 2)$.
Відповідь: 1) $\left[0; \frac{1}{3}\right)$;
2) $(0; 1]$;
3) $[1; 2)$.
339. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $\begin{cases} 2x \gt 15, \\ 3x \lt 1, \\ 7x \lt 21; \end{cases}$
2) $\begin{cases} x - 4 \gt 12, \\ 2x - 1 \gt 3, \\ 3x + 2 \lt 56; \end{cases}$
3) $\begin{cases} 3x - 2 \lt 0, \\ 1 \lt 5x \le 5; \end{cases}$
4) $\begin{cases} 4 + 3x \gt 10, \\ -1 \le -3x \lt 1. \end{cases}$
Розв'язок:
1) $\begin{cases} x \gt 7{,}5, \\ x \lt \frac{1}{3}, \\ x \lt 3. \end{cases}$
Проміжки $(7{,}5; +\infty)$ і $\left(-\infty; \frac{1}{3}\right)$ не мають спільних точок — система не має розв'язків.
2) $\begin{cases} x \gt 16, \\ 2x \gt 4, \\ 3x \lt 54; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt 16, \\ x \gt 2, \\ x \lt 18. \end{cases}$
Перетин — проміжок $(16; 18)$.
3) $\begin{cases} x \lt \frac{2}{3}, \\ \frac{1}{5} \lt x \le 1. \end{cases}$
Перетин — проміжок $\left(\frac{1}{5}; \frac{2}{3}\right)$.
4) $\begin{cases} 3x \gt 6, \\ \frac{1}{3} \ge x \gt -\frac{1}{3}; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt 2, \\ -\frac{1}{3} \lt x \le \frac{1}{3}. \end{cases}$
Проміжки $(2; +\infty)$ і $\left(-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right]$ не мають спільних точок — система не має розв'язків.
Відповідь: 1) система не має розв'язків;
2) $(16; 18)$;
3) $\left(\frac{1}{5}; \frac{2}{3}\right)$;
4) система не має розв'язків.
340. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $2(x - 1) + x \lt 3(x - 2)$,
$1{,}3x(x - 2) \lt x(1{,}3x - 3) + 0{,}4$;
2) $2{,}5x - 0{,}5(8 - x) \lt x + 1{,}6$,
$1{,}5(2x - 1) - 2x \lt x + 2{,}1$;
3) $2x(x - 3) - x(2x - 5) \lt 2 - x$,
$3x(2x - 4) - x(6x - 2) \gt 5 - 10x$;
4) $\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{x}{3} \gt \frac{5x}{6} - 3, \\ x - \frac{x}{8} \lt \frac{7x}{8} + 4. \end{cases}$
Розв'язок:
1) $2x - 2 + x \lt 3x - 6$;
$3x - 3x \lt -6 + 2$;
$0 \cdot x \lt -4$ — розв'язків немає.
Отже, і система не має розв'язків.
2) $2{,}5x - 4 + 0{,}5x \lt x + 1{,}6$;
$3x - x \lt 1{,}6 + 4$;
$2x \lt 5{,}6$;
$x \lt 2{,}8$.
$3x - 1{,}5 - 2x \lt x + 2{,}1$;
$x - x \lt 2{,}1 + 1{,}5$;
$0 \cdot x \lt 3{,}6$ — правильна за будь-якого $x$.
Розв'язки системи — проміжок $(-\infty; 2{,}8)$.
3) $2x^2 - 6x - 2x^2 + 5x \lt 2 - x$;
$-x \lt 2 - x$;
$0 \cdot x \lt 2$ — правильна за будь-якого $x$.
$6x^2 - 12x - 6x^2 + 2x \gt 5 - 10x$;
$-10x \gt 5 - 10x$;
$0 \cdot x \gt 5$ — розв'язків немає.
Отже, система не має розв'язків.
4) Першу нерівність помножимо на $6$:
$3x + 2x \gt 5x - 18$;
$0 \cdot x \gt -18$ — правильна за будь-якого $x$.
Другу нерівність помножимо на $8$:
$8x - x \lt 7x + 32$;
$0 \cdot x \lt 32$ — правильна за будь-якого $x$.
Отже, розв'язок системи — будь-яке число.
Відповідь: 1) система не має розв'язків;
2) $(-\infty; 2{,}8)$;
3) система не має розв'язків;
4) $(-\infty; +\infty)$.
341. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $4(x - 3) - 3(x - 2) \gt x + 5$,
$2(x + 3) - 4(x - 2) \gt 5(x - 6)$;
2) $2(3x - 4) \gt 6(x - 1) - 3$,
$x(x - 2) \gt (x - 3)(x + 3) - 11$.
Розв'язок:
1) $4x - 12 - 3x + 6 \gt x + 5$;
$x - 6 \gt x + 5$;
$0 \cdot x \gt 11$ — розв'язків немає.
Отже, і система не має розв'язків.
2) $6x - 8 \gt 6x - 6 - 3$;
$0 \cdot x \gt -1$ — правильна за будь-якого $x$.
$x^2 - 2x \gt x^2 - 9 - 11$;
$-2x \gt -20$;
$x \lt 10$.
Розв'язки системи — проміжок $(-\infty; 10)$.
Відповідь: 1) система не має розв'язків;
2) $(-\infty; 10)$.
342. Одна сторона трикутника дорівнює 8 м, а друга — 10 м. Якою може бути третя сторона за умови, що периметр трикутника менший за 30 м?
Розв'язок:
Нехай третя сторона дорівнює $x$ м. За нерівністю трикутника $10 - 8 \lt x \lt 10 + 8$, тобто $2 \lt x \lt 18$. Периметр: $8 + 10 + x \lt 30$, тобто $x \lt 12$.
$\begin{cases} 2 \lt x \lt 18, \\ x \lt 12; \end{cases}$
$2 \lt x \lt 12$.
Відповідь: більшою за 2 м, але меншою від 12 м.