Сторінка 38
343. Одна сторона трикутника дорівнює 12 дм, а друга — 16 дм. Якою може бути третя сторона за умови, що периметр трикутника більший за 48 дм?
Розв'язок:
Нехай третя сторона дорівнює $x$ дм. За нерівністю трикутника $16 - 12 \lt x \lt 16 + 12$, тобто $4 \lt x \lt 28$. Периметр: $12 + 16 + x \gt 48$, тобто $x \gt 20$.
$\begin{cases} 4 \lt x \lt 28, \\ x \gt 20; \end{cases}$
$20 \lt x \lt 28$.
Відповідь: більшою за 20 дм, але меншою від 28 дм.
344. Число одиниць двоцифрового числа на 1 більше за число десятків. Знайдіть це число, якщо воно більше за 45, але менше від 66.
Розв'язок:
Нехай число десятків — $x$, тоді одиниць — $x + 1$, а саме число дорівнює $10x + x + 1 = 11x + 1$.
$45 \lt 11x + 1 \lt 66 \quad | - 1$
$44 \lt 11x \lt 65 \quad | : 11$
$4 \lt x \lt 5\frac{10}{11}$
$x$ — цифра, тому $x = 5$, а число $11 \cdot 5 + 1 = 56$.
Відповідь: $56$.
345. Якщо до деякого цілого числа додати 7 і цю суму розділити на 5, то отримане число буде більшим за 12. Якщо від цього самого числа відняти 3 і різницю розділити на 2, то отримаємо число, менше від 26. Знайдіть це число.
Розв'язок:
Нехай шукане число — $x$.
$\begin{cases} \frac{x + 7}{5} \gt 12, \\ \frac{x - 3}{2} \lt 26; \end{cases}$
$\begin{cases} x + 7 \gt 60, \\ x - 3 \lt 52; \end{cases}$
$\begin{cases} x \gt 53, \\ x \lt 55. \end{cases}$
$53 \lt x \lt 55$; ціле число на цьому проміжку — лише $54$.
Відповідь: $54$.
346. Учень задумав число. Якщо до нього додати 4, а потім суму збільшити у 5 разів, то отримаємо трицифрове число. Якщо ж від задуманого числа відняти 5, а потім різницю збільшити в 9 разів, то отримаємо двоцифрове число. Яке число задумано?
Розв'язок:
Нехай задумано число $x$. Трицифрові числа — від $100$ до $999$, двоцифрові — від $10$ до $99$.
$\begin{cases} 100 \le 5(x + 4) \le 999, \\ 10 \le 9(x - 5) \le 99; \end{cases}$
$\begin{cases} 20 \le x + 4 \le 199{,}8, \\ 1\frac{1}{9} \le x - 5 \le 11; \end{cases}$
$\begin{cases} 16 \le x \le 195{,}8, \\ 6\frac{1}{9} \le x \le 16. \end{cases}$
Обом нерівностям задовольняє лише $x = 16$. Перевірка: $5 \cdot (16 + 4) = 100$, $9 \cdot (16 - 5) = 99$.
Відповідь: $16$.
347. За яких значень $a$ система нерівностей має розв'язок:
1) $\begin{cases} 2x \gt 10, \\ x \lt a; \end{cases}$
2) $\begin{cases} -3x \ge 6, \\ x \lt a; \end{cases}$
3) $\begin{cases} x + a \ge 0, \\ 7x \lt -21; \end{cases}$
4) $\begin{cases} ax \le 1, \\ 3x \ge 1? \end{cases}$
Розв'язок:
1) $\begin{cases} x \gt 5, \\ x \lt a. \end{cases}$
Проміжки $(5; +\infty)$ і $(-\infty; a)$ мають спільні точки, якщо $a \gt 5$.
2) $\begin{cases} x \le -2, \\ x \lt a. \end{cases}$
Проміжки $(-\infty; -2]$ і $(-\infty; a)$ завжди мають спільні точки (наприклад, усі числа, менші від $-2$ і від $a$), тому система має розв'язки за будь-якого $a$.
3) $\begin{cases} x \ge -a, \\ x \lt -3. \end{cases}$
Проміжки $[-a; +\infty)$ і $(-\infty; -3)$ мають спільні точки, якщо $-a \lt -3$, тобто $a \gt 3$.
4) Друга нерівність: $x \ge \frac{1}{3}$.
Якщо $a \gt 0$, то $x \le \frac{1}{a}$; розв'язки є, якщо $\frac{1}{a} \ge \frac{1}{3}$, тобто $0 \lt a \le 3$.
Якщо $a = 0$, то $0 \cdot x \le 1$ — правильна за будь-якого $x$, розв'язки системи — $x \ge \frac{1}{3}$.
Якщо $a \lt 0$, то $x \ge \frac{1}{a}$, і, наприклад, $x = 1$ задовольняє обидві нерівності.
Отже, $a \le 3$.
Відповідь: 1) $a \gt 5$;
2) за будь-якого $a$;
3) $a \gt 3$;
4) $a \le 3$.
348. За яких значень $a$ система нерівностей не має розв'язків:
1) $\begin{cases} x \gt 13, \\ x \lt -a; \end{cases}$
2) $\begin{cases} x \le 3, \\ ax \ge 9? \end{cases}$
Розв'язок:
1) Проміжки $(13; +\infty)$ і $(-\infty; -a)$ не мають спільних точок, якщо $-a \le 13$, тобто $a \ge -13$.
2) Якщо $a \gt 0$, то $x \ge \frac{9}{a}$; розв'язків немає, якщо $\frac{9}{a} \gt 3$, тобто $0 \lt a \lt 3$.
Якщо $a = 0$, то $0 \cdot x \ge 9$ — розв'язків немає, отже, і система не має розв'язків.
Якщо $a \lt 0$, то $x \le \frac{9}{a}$, і всі $x \le \frac{9}{a}$ задовольняють і нерівність $x \le 3$ — розв'язки є.
Отже, $0 \le a \lt 3$.
Відповідь: 1) $a \ge -13$;
2) $0 \le a \lt 3$.
349. Укажіть значення $a$, за яких система нерівностей $\begin{cases} x - a \ge 3, \\ 7x \le 14: \end{cases}$
1) має розв'язки;
2) має єдиний розв'язок;
3) не має розв'язків.
Розв'язок:
$\begin{cases} x \ge a + 3, \\ x \le 2. \end{cases}$
1) Розв'язки є, якщо $a + 3 \le 2$, тобто $a \le -1$.
2) Розв'язок єдиний ($x = 2$), якщо $a + 3 = 2$, тобто $a = -1$.
3) Розв'язків немає, якщо $a + 3 \gt 2$, тобто $a \gt -1$.
Відповідь: 1) $a \le -1$;
2) $a = -1$;
3) $a \gt -1$.
350. Розв'яжіть систему нерівностей:
1) $\begin{cases} x \gt 3, \\ x \lt a; \end{cases}$
2) $\begin{cases} x \gt 5, \\ x \gt a. \end{cases}$
Розв'язок:
1) Якщо $a \gt 3$, то розв'язки — проміжок $(3; a)$. Якщо $a \le 3$, то проміжки $(3; +\infty)$ і $(-\infty; a)$ не мають спільних точок — система не має розв'язків.
2) Обидві нерівності виконуються, коли $x$ більше за більше з чисел $5$ і $a$. Якщо $a \gt 5$, то $x \gt a$; якщо $a \le 5$, то $x \gt 5$.
Відповідь: 1) якщо $a \gt 3$, то $3 \lt x \lt a$; якщо $a \le 3$, то система не має розв'язків;
2) якщо $a \gt 5$, то $x \gt a$; якщо $a \le 5$, то $x \gt 5$.
351. За яких значень $a$ обидва корені рівняння $x^2 + (a + 1)x - a - 2a^2 = 0$ менші від числа 1?
Розв'язок:
$D = (a + 1)^2 + 4(a + 2a^2) =$
$= 9a^2 + 6a + 1 = (3a + 1)^2$.
$x_1 = \frac{-(a + 1) + (3a + 1)}{2} = a$;
$x_2 = \frac{-(a + 1) - (3a + 1)}{2} = -2a - 1$.
$\begin{cases} a \lt 1, \\ -2a - 1 \lt 1; \end{cases}$
$\begin{cases} a \lt 1, \\ a \gt -1. \end{cases}$
Відповідь: $-1 \lt a \lt 1$.
352. За яких значень $a$ обидва корені рівняння $x^2 + (2a + 1)x + a^2 + a = 0$ більші за число 5?
Розв'язок:
$D = (2a + 1)^2 - 4(a^2 + a) = 1$.
$x_1 = \frac{-(2a + 1) + 1}{2} = -a$;
$x_2 = \frac{-(2a + 1) - 1}{2} = -a - 1$.
$\begin{cases} -a \gt 5, \\ -a - 1 \gt 5; \end{cases}$
$\begin{cases} a \lt -5, \\ a \lt -6. \end{cases}$
Відповідь: $a \lt -6$.
353. За яких значень $a$ один із коренів рівняння $x^2 - x + a - a^2 = 0$ менший від 0, а другий — більший за 0,5?
Розв'язок:
$D = 1 - 4(a - a^2) = 4a^2 - 4a + 1 =$
$= (2a - 1)^2$.
$x_1 = \frac{1 + (2a - 1)}{2} = a$;
$x_2 = \frac{1 - (2a - 1)}{2} = 1 - a$.
Нехай $x_1 = a \lt 0$; тоді $x_2 = 1 - a \gt 1 \gt 0{,}5$ — умову виконано за всіх $a \lt 0$.
Нехай $x_2 = 1 - a \lt 0$, тобто $a \gt 1$; тоді $x_1 = a \gt 1 \gt 0{,}5$ — умову виконано за всіх $a \gt 1$.
Відповідь: $a \lt 0$ або $a \gt 1$.
354. За яких значень $a$ обидва корені рівняння $6x^2 - x(5a + 2) + a^2 + a = 0$ належать проміжку $[0; 4]$?
Розв'язок:
$D = (5a + 2)^2 - 24(a^2 + a) =$
$= a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$.
$x_1 = \frac{5a + 2 + (a - 2)}{12} = \frac{a}{2}$;
$x_2 = \frac{5a + 2 - (a - 2)}{12} = \frac{a + 1}{3}$.
$\begin{cases} 0 \le \frac{a}{2} \le 4, \\ 0 \le \frac{a + 1}{3} \le 4; \end{cases}$
$\begin{cases} 0 \le a \le 8, \\ -1 \le a \le 11. \end{cases}$
Перетин — проміжок $[0; 8]$.
Відповідь: $0 \le a \le 8$.