Сторінка 26
257. Складіть рівняння кола, центр якого міститься в точці $Q(-2; 5)$ і яке дотикається до:
1) осі абсцис;
2) осі ординат.
Розв'язок:
Радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної, тому радіус дорівнює відстані від центра до осі.
1) Відстань від $Q(-2; 5)$ до осі абсцис $R = |5| = 5$:
$(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 25$.
2) Відстань від $Q$ до осі ординат $R = |-2| = 2$:
$(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 4$.
Відповідь: 1) $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 25$;
2) $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 4$.
258. Складіть рівняння кола, центр якого міститься в точці $Q(3; -4)$ і яке дотикається до:
1) осі абсцис;
2) осі ординат.
Розв'язок:
1) $R = |-4| = 4$:
$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$.
2) $R = |3| = 3$:
$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9$.
Відповідь: 1) $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$;
2) $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9$.
259. Складіть рівняння кола радіуса 5, яке проходить через точку $M(-3; 2)$ і центр якого лежить на осі ординат.
Розв'язок:
Центр кола — точка $Q(0; b)$. Рівняння кола: $x^2 + (y - b)^2 = 25$. Підставимо координати точки $M$:
$(-3)^2 + (2 - b)^2 = 25$
$(2 - b)^2 = 16$
$2 - b = 4$ або $2 - b = -4$
$b = -2$ або $b = 6$.
Відповідь: $x^2 + (y + 2)^2 = 25$ або $x^2 + (y - 6)^2 = 25$.
260. Складіть рівняння кола радіуса 13, яке проходить через точку $N(-1; 12)$ і центр якого лежить на осі абсцис.
Розв'язок:
Центр кола — точка $Q(a; 0)$. Рівняння кола: $(x - a)^2 + y^2 = 169$. Підставимо координати точки $N$:
$(-1 - a)^2 + 12^2 = 169$
$(a + 1)^2 = 25$
$a + 1 = 5$ або $a + 1 = -5$
$a = 4$ або $a = -6$.
Відповідь: $(x - 4)^2 + y^2 = 169$ або $(x + 6)^2 + y^2 = 169$.
261. Коло дотикається до координатних осей. Складіть рівняння цього кола, якщо до осі абсцис воно дотикається в точці $K(-3; 0)$.
Розв'язок:
Радіус $QK$ перпендикулярний до осі абсцис, тому центр кола $Q(-3; b)$. Коло дотикається до осі ординат, отже, $R = |-3| = 3$. Відстань від $Q$ до осі абсцис теж дорівнює $R$: $|b| = 3$, $b = 3$ або $b = -3$.
Відповідь: $(x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 9$ або $(x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 9$.
262. Коло дотикається до координатних осей. Складіть рівняння цього кола, якщо до осі ординат воно дотикається в точці $L(0; 4)$.
Розв'язок:
Радіус $QL$ перпендикулярний до осі ординат, тому центр кола $Q(a; 4)$. Коло дотикається до осі абсцис, отже, $R = 4$. Відстань від $Q$ до осі ординат теж дорівнює $R$: $|a| = 4$, $a = 4$ або $a = -4$.
Відповідь: $(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 16$ або $(x + 4)^2 + (y - 4)^2 = 16$.
263. Коло із центром у точці $Q(-3; 2)$ проходить через точку $A(-2; 0)$. Чи проходить це коло через точку:
1) $B(-1; 1)$;
2) $C(-4; 5)$?
Розв'язок:
$R^2 = QA^2$:
$QA^2 = (-2 + 3)^2 + (0 - 2)^2 = 5$.
Рівняння кола: $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 5$.
1) $(-1 + 3)^2 + (1 - 2)^2 = 4 + 1 = 5$ — проходить.
2) $(-4 + 3)^2 + (5 - 2)^2 = 1 + 9 = 10$ — не проходить.
Відповідь: 1) так;
2) ні.
264. Коло із центром у точці $Q(2; -1)$ проходить через точку $C(5; 0)$. Чи проходить це коло через точку:
1) $D(0; 3)$;
2) $E(3; 2)$?
Розв'язок:
$R^2 = QC^2$:
$QC^2 = (5 - 2)^2 + (0 + 1)^2 = 10$.
Рівняння кола: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 10$.
1) $(0 - 2)^2 + (3 + 1)^2 = 4 + 16 = 20$ — не проходить.
2) $(3 - 2)^2 + (2 + 1)^2 = 1 + 9 = 10$ — проходить.
Відповідь: 1) ні;
2) так.
265. Коло задане рівнянням $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 9$. Не користуючись малюнком, визначте, які з точок $A(2; 0)$, $B(5; 4)$, $C(3; 3)$, $D(-1; 5)$ лежать:
1) усередині круга, обмеженого цим колом;
2) на колі;
3) поза кругом, обмеженим цим колом.
Розв'язок:
Центр кола $Q(2; 4)$, $R^2 = 9$. Знайдемо $QP^2$ для кожної точки $P$: якщо $QP^2 \lt 9$, точка лежить усередині круга, якщо $QP^2 = 9$ — на колі, якщо $QP^2 \gt 9$ — поза кругом.
$QA^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16 \gt 9$;
$QB^2 = 3^2 + 0^2 = 9$;
$QC^2 = 1^2 + (-1)^2 = 2 \lt 9$;
$QD^2 = (-3)^2 + 1^2 = 10 \gt 9$.
Відповідь: 1) $C$;
2) $B$;
3) $A$, $D$.
266. Коло задане рівнянням $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 16$. Не користуючись малюнком, визначте, які з точок $K(2; 3)$, $L(-5; 3)$, $M(-3; 7)$, $N(-2; 4)$ лежать:
1) усередині круга, обмеженого цим колом;
2) на колі;
3) поза кругом, обмеженим цим колом.
Розв'язок:
Центр кола $Q(-1; 3)$, $R^2 = 16$.
$QK^2 = 3^2 + 0^2 = 9 \lt 16$;
$QL^2 = (-4)^2 + 0^2 = 16$;
$QM^2 = (-2)^2 + 4^2 = 20 \gt 16$;
$QN^2 = (-1)^2 + 1^2 = 2 \lt 16$.
Відповідь: 1) $K$, $N$;
2) $L$;
3) $M$.
267. Знайдіть координати центра кола, радіус якого дорівнює 2 і яке дотикається до осей координат. Скільки розв'язків має задача?
Розв'язок:
Відстань від центра до кожної осі дорівнює радіусу $2$, тому $|x_Q| = 2$ і $|y_Q| = 2$. У кожній координатній чверті — одне таке коло.
Відповідь: $Q(2; 2)$, або $Q(-2; 2)$, або $Q(-2; -2)$, або $Q(2; -2)$; задача має чотири розв'язки.
268. Складіть рівняння кола радіуса 10, центр якого належить бісектрисі другого координатного кута і яке проходить через точку $A(2; -4)$.
Розв'язок:
Бісектриса другого координатного кута — промінь $y = -x$, $x \lt 0$. Тому центр кола $Q(t; -t)$, де $t \lt 0$.
$QA^2 = 100$:
$(2 - t)^2 + (-4 + t)^2 = 100$
$4 - 4t + t^2 + 16 - 8t + t^2 = 100$
$2t^2 - 12t - 80 = 0$
$t^2 - 6t - 40 = 0$
$t_1 = 10$, $t_2 = -4$.
Умову $t \lt 0$ задовольняє лише $t = -4$: $Q(-4; 4)$.
Відповідь: $(x + 4)^2 + (y - 4)^2 = 100$.
269. Складіть рівняння кола радіуса 5, центр якого належить бісектрисі третього координатного кута і яке проходить через точку $B(2; 1)$.
Розв'язок:
Бісектриса третього координатного кута — промінь $y = x$, $x \lt 0$. Тому центр кола $Q(t; t)$, де $t \lt 0$.
$QB^2 = 25$:
$(2 - t)^2 + (1 - t)^2 = 25$
$4 - 4t + t^2 + 1 - 2t + t^2 = 25$
$2t^2 - 6t - 20 = 0$
$t^2 - 3t - 10 = 0$
$t_1 = 5$, $t_2 = -2$.
Умову $t \lt 0$ задовольняє лише $t = -2$: $Q(-2; -2)$.
Відповідь: $(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 25$.
270. Складіть рівняння кола, яке дотикається до координатних осей і проходить через точку $C(2; -1)$.
Розв'язок:
Точка $C$ лежить у четвертій чверті, тому й коло лежить у четвертій чверті. Його центр $Q(a; -a)$, де $a \gt 0$, радіус $R = a$.
$QC^2 = R^2$:
$(2 - a)^2 + (-1 + a)^2 = a^2$
$4 - 4a + a^2 + 1 - 2a + a^2 = a^2$
$a^2 - 6a + 5 = 0$
$a_1 = 1$, $a_2 = 5$.
Відповідь: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$ або $(x - 5)^2 + (y + 5)^2 = 25$.
271. Складіть рівняння кола, яке дотикається до координатних осей і проходить через точку $D(2; 4)$.
Розв'язок:
Точка $D$ лежить у першій чверті, тому центр кола $Q(a; a)$, де $a \gt 0$, радіус $R = a$.
$QD^2 = R^2$:
$(2 - a)^2 + (4 - a)^2 = a^2$
$4 - 4a + a^2 + 16 - 8a + a^2 = a^2$
$a^2 - 12a + 20 = 0$
$a_1 = 2$, $a_2 = 10$.
Відповідь: $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ або $(x - 10)^2 + (y - 10)^2 = 100$.