Сторінка 27
272. З'ясуйте взаємне розміщення двох кіл (дотик, перетин або немає спільних точок):
1) $x^2 + y^2 = 25$ та $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36$;
2) $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$ та $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$;
3) $x^2 - 2x + y^2 + 6y + 6 = 0$ та $x^2 - 8x + y^2 - 2y + 8 = 0$.
Розв'язок:
Порівнюємо відстань $d$ між центрами кіл із сумою та різницею радіусів: $d = R_1 + R_2$ — зовнішній дотик; $d = R_2 - R_1$ — внутрішній дотик; $R_2 - R_1 \lt d \lt R_1 + R_2$ — перетин; $d \gt R_1 + R_2$ або $d \lt R_2 - R_1$ — немає спільних точок ($R_1 \le R_2$).
1) $Q_1(0; 0)$, $R_1 = 5$; $Q_2(3; -4)$, $R_2 = 6$.
$d = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$.
$6 - 5 \lt 5 \lt 6 + 5$ — кола перетинаються.
2) $Q_1(1; -1)$, $R_1 = 1$; $Q_2(2; -3)$, $R_2 = 4$.
$d = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$.
$R_2 - R_1 = 3 = \sqrt{9}$, $\sqrt{5} \lt \sqrt{9}$, тобто $d \lt R_2 - R_1$: перше коло лежить усередині другого, спільних точок немає.
3) $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4$:
$Q_1(1; -3)$, $R_1 = 2$.
$(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 9$:
$Q_2(4; 1)$, $R_2 = 3$.
$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 = R_1 + R_2$ — зовнішній дотик.
Відповідь: 1) перетин кіл;
2) немає спільних точок;
3) зовнішній дотик.
273. З'ясуйте взаємне розміщення двох кіл (дотик, перетин або немає спільних точок):
1) $x^2 + y^2 = 4$ та $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 49$;
2) $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$ та $(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$;
3) $x^2 - 6x + y^2 + 8 = 0$ та $x^2 + 4x + y^2 - 4y - 1 = 0$.
Розв'язок:
1) $Q_1(0; 0)$, $R_1 = 2$; $Q_2(-3; 4)$, $R_2 = 7$.
$d = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$.
$d = 7 - 2 = R_2 - R_1$ — внутрішній дотик.
2) $Q_1(2; -3)$, $R_1 = 4$; $Q_2(-3; -2)$, $R_2 = 5$.
$d = \sqrt{(-5)^2 + 1^2} = \sqrt{26}$.
$1 \lt \sqrt{26} \lt 9$ — кола перетинаються.
3) $(x - 3)^2 + y^2 = 1$:
$Q_1(3; 0)$, $R_1 = 1$.
$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 9$:
$Q_2(-2; 2)$, $R_2 = 3$.
$d = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{29}$.
$\sqrt{29} \gt \sqrt{16} = 4 = R_1 + R_2$ — спільних точок немає.
Відповідь: 1) внутрішній дотик;
2) перетин кіл;
3) немає спільних точок.
274. На осі ординат знайдіть точки, з яких відрізок $AB$ видно під прямим кутом, якщо $A(0; 4)$, $B(6; 12)$.
Розв'язок:
Відрізок $AB$ видно під прямим кутом з точок $P$, для яких $\angle APB = 90^\circ$, — це точки кола, для якого $AB$ є діаметром (крім точок $A$ і $B$).
Центр кола $M$ — середина $AB$:
$x_M = \frac{0 + 6}{2} = 3$; $y_M = \frac{4 + 12}{2} = 8$; $M(3; 8)$.
$R^2 = MA^2$:
$MA^2 = (0 - 3)^2 + (4 - 8)^2 = 25$.
Рівняння кола: $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 25$.
Точки на осі ординат: $x = 0$.
$9 + (y - 8)^2 = 25$
$(y - 8)^2 = 16$
$y = 12$ або $y = 4$.
Точка $(0; 4)$ збігається з точкою $A$, з неї кута $APB$ не утворюється. Отже, шукана точка $P(0; 12)$.
У відповідях посібника — «(0; 4) або (0; 12)»; точка $(0; 4)$ — це кінець відрізка $A$.
Відповідь: $(0; 12)$.
275. Які з рівнянь є рівняннями прямої:
1) $x + y^2 - 3 = 0$;
2) $7x - 3y + 19 = 0$;
3) $x^2 + (y - 1)^2 = 9$;
4) $2y + x = 0$;
5) $4y - 5 = 0$;
6) $x^3 + 2y - 7 = 0$?
Розв'язок:
Рівняння прямої має вигляд $ax + by + c = 0$, де $a$ і $b$ одночасно не дорівнюють нулю.
1) Ні: є $y^2$.
2) Так: $a = 7$, $b = -3$, $c = 19$.
3) Ні: це рівняння кола.
4) Так: $x + 2y = 0$.
5) Так: $a = 0$, $b = 4$, $c = -5$.
6) Ні: є $x^3$.
Відповідь: 2), 4), 5).
276. Чи належить прямій $x + y - 3 = 0$ точка:
1) $A(2; 1)$;
2) $B(3; -2)$;
3) $C(-2; 5)$;
4) $D(0; 4)$?
Розв'язок:
1) $2 + 1 - 3 = 0$ — належить.
2) $3 - 2 - 3 = -2 \ne 0$ — не належить.
3) $-2 + 5 - 3 = 0$ — належить.
4) $0 + 4 - 3 = 1 \ne 0$ — не належить.
Відповідь: 1) так;
2) ні;
3) так;
4) ні.
277. Чи належить прямій $x - y - 2 = 0$ точка:
1) $M(3; 0)$;
2) $K(5; 3)$;
3) $L(-2; 0)$;
4) $N(-1; -3)$?
Розв'язок:
1) $3 - 0 - 2 = 1 \ne 0$ — не належить.
2) $5 - 3 - 2 = 0$ — належить.
3) $-2 - 0 - 2 = -4 \ne 0$ — не належить.
4) $-1 - (-3) - 2 = 0$ — належить.
Відповідь: 1) ні;
2) так;
3) ні;
4) так.
278. Укажіть деякі дві точки, що належать прямій $2x - y = 0$, та дві точки, які їй не належать.
Розв'язок:
$2x - y = 0$, тобто $y = 2x$.
Належать: $(0; 0)$, бо $2 \cdot 0 - 0 = 0$; $(1; 2)$, бо $2 \cdot 1 - 2 = 0$.
Не належать: $(1; 1)$, бо $2 \cdot 1 - 1 = 1 \ne 0$; $(0; 3)$, бо $2 \cdot 0 - 3 = -3 \ne 0$.
Відповідь: наприклад, належать $(0; 0)$, $(1; 2)$; не належать $(1; 1)$, $(0; 3)$.
279. Укажіть деякі три точки, що належать прямій $x + 3y = 0$, та три точки, які їй не належать.
Розв'язок:
$x + 3y = 0$, тобто $x = -3y$.
Належать: $(0; 0)$, $(3; -1)$, $(-6; 2)$:
$0 + 3 \cdot 0 = 0$; $3 + 3 \cdot (-1) = 0$;
$-6 + 3 \cdot 2 = 0$.
Не належать: $(1; 1)$, $(3; 1)$, $(0; 2)$:
$1 + 3 = 4$; $3 + 3 = 6$; $0 + 6 = 6$.
Відповідь: наприклад, належать $(0; 0)$, $(3; -1)$, $(-6; 2)$; не належать $(1; 1)$, $(3; 1)$, $(0; 2)$.
280. Які з поданих прямих проходять через початок координат:
1) $4x - 3y = 0$;
2) $x + y + 1 = 0$;
3) $\frac{1}{2}x + y = 0$;
4) $7y - 7 = 0$?
Розв'язок:
Підставимо координати точки $O(0; 0)$.
1) $4 \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 0$ — проходить.
2) $0 + 0 + 1 = 1 \ne 0$ — не проходить.
3) $\frac{1}{2} \cdot 0 + 0 = 0$ — проходить.
4) $7 \cdot 0 - 7 = -7 \ne 0$ — не проходить.
Відповідь: 1), 3).
281. Укажіть кутовий коефіцієнт прямої:
1) $y = 3x - 5$;
2) $y = -x + 11$;
3) $y = \frac{1}{3}x + 4$;
4) $y = -0{,}08x$.
Розв'язок:
У рівнянні $y = kx + l$ кутовий коефіцієнт — число $k$.
Відповідь: 1) $k = 3$;
2) $k = -1$;
3) $k = \frac{1}{3}$;
4) $k = -0{,}08$.
282. Укажіть кутовий коефіцієнт прямої:
1) $y = -2x + 7$;
2) $y = x - 8$;
3) $y = 0{,}25x$;
4) $y = -\frac{1}{2}x + 17$.
Розв'язок:
У рівнянні $y = kx + l$ кутовий коефіцієнт — число $k$.
Відповідь: 1) $k = -2$;
2) $k = 1$;
3) $k = 0{,}25$;
4) $k = -\frac{1}{2}$.
283. Чи паралельні прямі:
1) $y = 3x + 11$ та $y = -3x + 1$;
2) $y = -2x + 3$ та $y = 9 - 2x$?
Розв'язок:
Прямі $y = k_1x + l_1$ і $y = k_2x + l_2$ паралельні, якщо $k_1 = k_2$ і $l_1 \ne l_2$.
1) $k_1 = 3$, $k_2 = -3$, $k_1 \ne k_2$ — не паралельні.
2) $y = 9 - 2x$, тобто $y = -2x + 9$. $k_1 = k_2 = -2$, $3 \ne 9$ — паралельні.
Відповідь: 1) ні;
2) так.
284. Чи перетинаються прямі:
1) $y = 12 - 8x$ та $y = -8x$;
2) $y = -x + 5$ та $y = x + 5$?
Розв'язок:
1) $y = -8x + 12$ і $y = -8x$: $k_1 = k_2 = -8$, $12 \ne 0$ — прямі паралельні, не перетинаються.
2) $k_1 = -1$, $k_2 = 1$, $k_1 \ne k_2$ — прямі перетинаються.
$-x + 5 = x + 5$
$x = 0$, $y = 5$.
Точка перетину $(0; 5)$.
Відповідь: 1) ні;
2) так, у точці $(0; 5)$.
285. Знайдіть координати точок перетину прямої $3x + y - 6 = 0$ з осями координат.
Розв'язок:
З віссю $x$: $y = 0$.
$3x - 6 = 0$
$x = 2$
Точка: $(2; 0)$.
З віссю $y$: $x = 0$.
$y - 6 = 0$
$y = 6$
Точка: $(0; 6)$.
Відповідь: $(2; 0)$, $(0; 6)$.