Сторінка 30
312. Знайдіть коефіцієнти $a$ і $b$ у рівнянні прямої $ax + by + 5 = 0$, якщо вона проходить через точки $(4; 1)$ і $(1; 4)$.
Розв'язок:
Координати кожної точки задовольняють рівняння прямої:
$\begin{cases} 4a + b + 5 = 0, \\ a + 4b + 5 = 0. \end{cases}$
Віднімемо від першого рівняння друге:
$3a - 3b = 0$, тобто $b = a$.
Тоді $4a + a + 5 = 0$
$5a = -5$
$a = -1$, $b = -1$.
Відповідь: $a = b = -1$.
313. Знайдіть точку перетину прямих $2x - 3y + 8 = 0$ і $3x + y + 1 = 0$.
Розв'язок:
Координати точки перетину задовольняють обидва рівняння:
$\begin{cases} 2x - 3y + 8 = 0, \\ 3x + y + 1 = 0. \end{cases}$
З другого рівняння $y = -3x - 1$. Підставимо в перше:
$2x - 3(-3x - 1) + 8 = 0$
$2x + 9x + 3 + 8 = 0$
$11x = -11$
$x = -1$
$y = -3 \cdot (-1) - 1 = 2$.
Відповідь: $(-1; 2)$.
314. Знайдіть точку перетину прямих $3x + y - 8 = 0$ і $2x - 3y - 9 = 0$.
Розв'язок:
$\begin{cases} 3x + y - 8 = 0, \\ 2x - 3y - 9 = 0. \end{cases}$
З першого рівняння $y = 8 - 3x$. Підставимо в друге:
$2x - 3(8 - 3x) - 9 = 0$
$2x - 24 + 9x - 9 = 0$
$11x = 33$
$x = 3$
$y = 8 - 3 \cdot 3 = -1$.
Відповідь: $(3; -1)$.
315. Чи проходить пряма $2x + 3y = 0$ через точку перетину прямих $x + 2y + 1 = 0$ і $5x - y - 17 = 0$?
Розв'язок:
Знайдемо точку перетину прямих:
$\begin{cases} x + 2y + 1 = 0, \\ 5x - y - 17 = 0. \end{cases}$
З другого рівняння $y = 5x - 17$. Підставимо в перше:
$x + 2(5x - 17) + 1 = 0$
$11x - 33 = 0$
$x = 3$
$y = 5 \cdot 3 - 17 = -2$.
Точка перетину — $(3; -2)$.
Перевіримо, чи задовольняють її координати рівняння $2x + 3y = 0$:
$2 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) = 0$ — правильно.
Відповідь: так.
316. Чи проходить пряма $2x + y = 0$ через точку перетину прямих $2x + y + 3 = 0$ і $4x - y + 9 = 0$?
Розв'язок:
$\begin{cases} 2x + y + 3 = 0, \\ 4x - y + 9 = 0. \end{cases}$
Додамо рівняння:
$6x + 12 = 0$
$x = -2$
$y = -2x - 3 = 4 - 3 = 1$.
Точка перетину — $(-2; 1)$.
$2 \cdot (-2) + 1 = -3 \ne 0$, тому точка не належить прямій $2x + y = 0$.
Відповідь: ні.
317. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $A(-2; 1)$ і має кутовий коефіцієнт:
1) $1$;
2) $-3$;
3) $0$;
4) $\frac{1}{3}$.
Розв'язок:
Рівняння прямої, що проходить через точку $(x_1; y_1)$ і має кутовий коефіцієнт $k$: $y - y_1 = k(x - x_1)$.
Для точки $A(-2; 1)$: $y - 1 = k(x + 2)$.
1) $y - 1 = x + 2$
$x - y + 3 = 0$
2) $y - 1 = -3(x + 2)$
$y - 1 = -3x - 6$
$3x + y + 5 = 0$
3) $y - 1 = 0 \cdot (x + 2)$
$y - 1 = 0$
4) $y - 1 = \frac{1}{3}(x + 2)$
$3y - 3 = x + 2$
$x - 3y + 5 = 0$
Відповідь: 1) $x - y + 3 = 0$;
2) $3x + y + 5 = 0$;
3) $y - 1 = 0$;
4) $x - 3y + 5 = 0$.
318. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $B(1; -3)$ і має кутовий коефіцієнт:
1) $-1$;
2) $2$;
3) $0$;
4) $\frac{1}{5}$.
Розв'язок:
Для точки $B(1; -3)$: $y + 3 = k(x - 1)$.
1) $y + 3 = -(x - 1)$
$y + 3 = -x + 1$
$x + y + 2 = 0$
2) $y + 3 = 2(x - 1)$
$y + 3 = 2x - 2$
$2x - y - 5 = 0$
3) $y + 3 = 0 \cdot (x - 1)$
$y + 3 = 0$
4) $y + 3 = \frac{1}{5}(x - 1)$
$5y + 15 = x - 1$
$x - 5y - 16 = 0$
Відповідь: 1) $x + y + 2 = 0$;
2) $2x - y - 5 = 0$;
3) $y + 3 = 0$;
4) $x - 5y - 16 = 0$.
319. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $C(-1; -2)$ та утворює з додатним напрямком осі абсцис кут:
1) $135^\circ$;
2) $30^\circ$.
Розв'язок:
$y - y_1 = k(x - x_1)$, де $k = \operatorname{tg}\alpha$. Для точки $C(-1; -2)$: $y + 2 = k(x + 1)$.
1) $k = \operatorname{tg}135^\circ = -\operatorname{tg}45^\circ = -1$.
$y + 2 = -(x + 1)$
$y + 2 = -x - 1$
$x + y + 3 = 0$
2) $k = \operatorname{tg}30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$y + 2 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x + 1)$
$\sqrt{3}y + 2\sqrt{3} = x + 1$
$x - \sqrt{3}y + 1 - 2\sqrt{3} = 0$
Відповідь: 1) $x + y + 3 = 0$;
2) $x - \sqrt{3}y + 1 - 2\sqrt{3} = 0$.
320. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку $D(5; 1)$ та утворює з додатним напрямком осі абсцис кут:
1) $45^\circ$;
2) $120^\circ$.
Розв'язок:
Для точки $D(5; 1)$: $y - 1 = k(x - 5)$, $k = \operatorname{tg}\alpha$.
1) $k = \operatorname{tg}45^\circ = 1$.
$y - 1 = x - 5$
$x - y - 4 = 0$
2) $k = \operatorname{tg}120^\circ = -\operatorname{tg}60^\circ = -\sqrt{3}$.
$y - 1 = -\sqrt{3}(x - 5)$
$y - 1 = -\sqrt{3}x + 5\sqrt{3}$
$\sqrt{3}x + y - 1 - 5\sqrt{3} = 0$
Відповідь: 1) $x - y - 4 = 0$;
2) $\sqrt{3}x + y - 1 - 5\sqrt{3} = 0$.
321. Складіть рівняння прямої $b$ (мал. 20–22).
Розв'язок:
Мал. 20. Пряма проходить через початок координат, тому $l = 0$ і $y = kx$.
$k = \operatorname{tg}150^\circ = -\operatorname{tg}30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$
$\sqrt{3}y = -x$
$x + \sqrt{3}y = 0$
Мал. 21. Пряма проходить через точку $(-3; 0)$, $k = \operatorname{tg}45^\circ = 1$.
$y - 0 = 1 \cdot (x + 3)$
$x - y + 3 = 0$
Мал. 22. Пряма проходить через $O(0; 0)$ і $B(-1; 2)$: $y = kx$, $2 = k \cdot (-1)$, $k = -2$.
$y = -2x$
$2x + y = 0$
Відповідь: $x + \sqrt{3}y = 0$;
$x - y + 3 = 0$;
$2x + y = 0$.
322. Складіть рівняння прямої $a$ (мал. 23–25).
Розв'язок:
Мал. 23. Пряма проходить через початок координат, $k = \operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3}$.
$y = \sqrt{3}x$
$\sqrt{3}x - y = 0$
Мал. 24. $k = \operatorname{tg}135^\circ = -1$; пряма перетинає вісь $y$ у точці $(0; -1)$, тому $l = -1$.
$y = -x - 1$
$x + y + 1 = 0$
Мал. 25. Пряма проходить через $O(0; 0)$ і $A(1; 3)$: $y = kx$, $3 = k \cdot 1$, $k = 3$.
$y = 3x$
$3x - y = 0$
Відповідь: $\sqrt{3}x - y = 0$;
$x + y + 1 = 0$;
$3x - y = 0$.