Завдання № 8 ДР-2 [4М] Варіант 2

Діагностична робота (сторінка 23)

Тема: Властивості функції. Перетворення графіків функцій. Квадратична функція

Побудуйте графік функції $y=-x^{2}+2x+3$. За графіком знайдіть:

1) область значень функції; 2) проміжок зростання функції.

Розв’язок:

Графіком функції $y=-x^{2}+2x+3$ є парабола, гілки якої спрямовані вниз, бо $a=-1<0$. Знайдемо координати її вершини:

$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1;$

$y_{\text{в}}=y(1)=-1^{2}+2\cdot1+3=4.$

Отже, точка $(1;4)$ — вершина параболи, а пряма $x=1$ — її вісь симетрії.

Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=1$:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$-5$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$	$-5$

Позначимо вершину параболи і точки з таблиці на координатній площині та сполучимо їх плавною лінією:

За графіком знаходимо:

1) найбільше значення функції дорівнює $4$ (ордината вершини), а найменшого значення не існує. Отже, область значень функції — проміжок $(-\infty;4\rbrack$;

2) ліворуч від вершини, тобто для $x\leq1$, графік «прямує» вгору. Отже, функція зростає на проміжку $(-\infty;1\rbrack$.

Відповідь:

1) $(-\infty;4\rbrack$;
2) $(-\infty;1\rbrack$.