Завдання № 7 ДР-3 [6М] Варіант 1

Діагностична робота (сторінка 30)

Тема: Квадратна нерівність. Розв’язування систем двох рівнянь з двома змінними та задач за допомогою систем рівнянь

Знайдіть область визначення функції $y=\frac{\sqrt{4-x^{2}+3x}}{x-2}$.

Розв’язок:

Формула функції має зміст, якщо підкореневий вираз невід’ємний, а знаменник не дорівнює нулю. Отже, область визначення функції — множина розв’язків системи:

$\begin{cases} 4-x^{2}+3x\geq0, \\ x-2\neq0. \end{cases}$

1) Розв’яжемо нерівність $4-x^{2}+3x\geq0$. Знайдемо корені квадратного тричлена $-x^{2}+3x+4$:

$-x^{2}+3x+4=0;$

$x^{2}-3x-4=0;$

$x_{1}=-1$, $x_{2}=4$ (за теоремою, оберненою до теореми Вієта).

Графіком функції $y=-x^{2}+3x+4$ є парабола, гілки якої спрямовані вниз. Знак нерівності нестрогий, тому корені позначаємо зафарбованими точками. Число $2$, за якого знаменник дорівнює нулю, позначаємо «виколотою» точкою:

Парабола лежить вище від осі $x$ або на ній, якщо $x \in \lbrack-1;4\rbrack$.

2) З умови $x-2\neq0$ маємо $x\neq2$. Вилучимо число $2$ з проміжку $\lbrack-1;4\rbrack$:

$D(y)=\lbrack-1;2) \cup (2;4\rbrack.$

Відповідь:

$\lbrack-1;2) \cup (2;4\rbrack.$