Завдання № 8 ДР-3 [6М] Варіант 1

Діагностична робота (сторінка 30)

Тема: Квадратна нерівність. Розв’язування систем двох рівнянь з двома змінними та задач за допомогою систем рівнянь

Із двох пунктів, відстань між якими $12$ км, одночасно назустріч один одному вирушили два пішоходи і зустрілися через $2$ год. Знайдіть швидкість кожного пішохода, якщо один з них витрачає на весь шлях на $3$ год більше, ніж інший.

Нехай $x$ км/год — швидкість першого пішохода, а $y$ км/год — швидкість другого, який витрачає на весь шлях на $3$ год більше.

За $2$ год пішоходи разом подолали $12$ км, тому $2x+2y=12$.

Перший пішохід на весь шлях витрачає $\frac{12}{x}$ год, а другий — $\frac{12}{y}$ год. За умовою $\frac{12}{y}-\frac{12}{x}=3$.

Маємо систему рівнянь:

$\begin{cases} 2x+2y=12, \\ \frac{12}{y}-\frac{12}{x}=3; \end{cases}$

$\begin{cases} y=6-x, \\ \frac{12}{6-x}-\frac{12}{x}=3. \end{cases}$

Розв’яжемо друге рівняння системи. Помножимо обидві його частини на $x(6-x)$, де $x\neq0$ і $x\neq6$:

$12x-12(6-x)=3x(6-x);$

$12x-72+12x=18x-3x^{2};$

$3x^{2}+6x-72=0;$

$x^{2}+2x-24=0;$

$D=2^{2}-4\cdot1\cdot(-24)=$

$=4+96=100;$

$x_{1}=\frac{-2-10}{2}=-6$, $x_{2}=\frac{-2+10}{2}=4$.

Число $-6$ не задовольняє умову задачі, бо швидкість не може бути від’ємною. Отже, $x=4$, тоді $y=6-4=2$.

Перевірка: $\frac{12}{2}-\frac{12}{4}=6-3=3$ (год).

$4$ км/год і $2$ км/год.