Завдання № 8 ДР-3 [6М] Варіант 3

Діагностична робота (сторінка 32)

Тема: Квадратна нерівність. Розв’язування систем двох рівнянь з двома змінними та задач за допомогою систем рівнянь

Із двох пунктів, відстань між якими $24$ км, одночасно назустріч один одному вирушили пішохід та скейтбордист і зустрілися через $2$ год. Знайдіть швидкість кожного з них, якщо скейтбордист витрачає на весь шлях на $3$ год менше, ніж пішохід.

Нехай $x$ км/год — швидкість пішохода, а $y$ км/год — швидкість скейтбордиста.

За $2$ год вони разом подолали $24$ км, тому $2x+2y=24$.

Пішохід на весь шлях витрачає $\frac{24}{x}$ год, а скейтбордист — $\frac{24}{y}$ год. За умовою $\frac{24}{x}-\frac{24}{y}=3$.

Маємо систему рівнянь:

$\begin{cases} 2x+2y=24, \\ \frac{24}{x}-\frac{24}{y}=3; \end{cases}$

$\begin{cases} x=12-y, \\ \frac{24}{12-y}-\frac{24}{y}=3. \end{cases}$

Розв’яжемо друге рівняння системи. Помножимо обидві його частини на $y(12-y)$, де $y\neq0$ і $y\neq12$:

$24y-24(12-y)=3y(12-y);$

$24y-288+24y=36y-3y^{2};$

$3y^{2}+12y-288=0;$

$y^{2}+4y-96=0;$

$D=4^{2}-4\cdot1\cdot(-96)=$

$=16+384=400;$

$y_{1}=\frac{-4-20}{2}=-12$, $y_{2}=\frac{-4+20}{2}=8$.

Число $-12$ не задовольняє умову задачі, бо швидкість не може бути від’ємною. Отже, $y=8$, тоді $x=12-8=4$.

Перевірка: $\frac{24}{4}-\frac{24}{8}=6-3=3$ (год).

швидкість пішохода — $4$ км/год, скейтбордиста — $8$ км/год.