Завдання № 7 ДР-3 [6М] Варіант 4

Діагностична робота (сторінка 33)

Тема: Квадратна нерівність. Розв’язування систем двох рівнянь з двома змінними та задач за допомогою систем рівнянь

Знайдіть область визначення функції $y=\frac{\sqrt{5-4x-x^{2}}}{x+1}$.

Розв’язок:

Формула функції має зміст, якщо підкореневий вираз невід’ємний, а знаменник не дорівнює нулю. Отже, область визначення функції — множина розв’язків системи:

$\begin{cases} 5-4x-x^{2}\geq0, \\ x+1\neq0. \end{cases}$

1) Розв’яжемо нерівність $5-4x-x^{2}\geq0$. Знайдемо корені квадратного тричлена $-x^{2}-4x+5$:

$-x^{2}-4x+5=0;$

$x^{2}+4x-5=0;$

$x_{1}=-5$, $x_{2}=1$ (за теоремою, оберненою до теореми Вієта).

Графіком функції $y=-x^{2}-4x+5$ є парабола, гілки якої спрямовані вниз. Знак нерівності нестрогий, тому корені позначаємо зафарбованими точками. Число $-1$, за якого знаменник дорівнює нулю, позначаємо «виколотою» точкою:

Парабола лежить вище від осі $x$ або на ній, якщо $x \in \lbrack-5;1\rbrack$.

2) З умови $x+1\neq0$ маємо $x\neq-1$. Вилучимо число $-1$ з проміжку $\lbrack-5;1\rbrack$:

$D(y)=\lbrack-5;-1) \cup (-1;1\rbrack.$

Відповідь:

$\lbrack-5;-1) \cup (-1;1\rbrack.$