Завдання № 8 ДР-3 [6М] Варіант 4

Діагностична робота (сторінка 33)

Тема: Квадратна нерівність. Розв’язування систем двох рівнянь з двома змінними та задач за допомогою систем рівнянь

Із двох міст, відстань між якими $30$ км, одночасно назустріч один одному вирушили пішохід та велосипедист і зустрілися через $2$ год. Знайдіть швидкість кожного з них, якщо велосипедист витрачає на весь шлях на $3$ год менше, ніж пішохід.

Нехай $x$ км/год — швидкість пішохода, а $y$ км/год — швидкість велосипедиста.

За $2$ год вони разом подолали $30$ км, тому $2x+2y=30$.

Пішохід на весь шлях витрачає $\frac{30}{x}$ год, а велосипедист — $\frac{30}{y}$ год. За умовою $\frac{30}{x}-\frac{30}{y}=3$.

Маємо систему рівнянь:

$\begin{cases} 2x+2y=30, \\ \frac{30}{x}-\frac{30}{y}=3; \end{cases}$

$\begin{cases} x=15-y, \\ \frac{30}{15-y}-\frac{30}{y}=3. \end{cases}$

Розв’яжемо друге рівняння системи. Помножимо обидві його частини на $y(15-y)$, де $y\neq0$ і $y\neq15$:

$30y-30(15-y)=3y(15-y);$

$30y-450+30y=45y-3y^{2};$

$3y^{2}+15y-450=0;$

$y^{2}+5y-150=0;$

$D=5^{2}-4\cdot1\cdot(-150)=$

$=25+600=625;$

$y_{1}=\frac{-5-25}{2}=-15$, $y_{2}=\frac{-5+25}{2}=10$.

Число $-15$ не задовольняє умову задачі, бо швидкість не може бути від’ємною. Отже, $y=10$, тоді $x=15-10=5$.

Перевірка: $\frac{30}{5}-\frac{30}{10}=6-3=3$ (год).

швидкість пішохода — $5$ км/год, велосипедиста — $10$ км/год.