Завдання № 7 КР за I семестр Варіант 2

Контрольна робота за I семестр (сторінка 27)

Побудуйте схематично графік функції $y=-x^{2}+2x-5$ і вкажіть область значень цієї функції.

А. $(-\infty;4\rbrack$; Б. $(-\infty;-4)$; В. $(-\infty;-4\rbrack$; Г. $\lbrack-4;+\infty)$.

Пояснення:

Графіком функції $y=-x^{2}+2x-5$ є парабола, гілки якої спрямовані вниз, бо $a=-1<0$. Знайдемо координати її вершини:

$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1;$

$y_{\text{в}}=y(1)=-1^{2}+2\cdot1-5=$

$=-1+2-5=-4.$

Отже, точка $(1;-4)$ — вершина параболи, а пряма $x=1$ — її вісь симетрії.

Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=1$:

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$-8$	$-5$	$-4$	$-5$	$-8$

Позначимо вершину параболи і точки з таблиці на координатній площині та сполучимо їх плавною лінією:

Гілки параболи спрямовані вниз, тому найбільше значення функції дорівнює ординаті вершини, тобто $-4$, а найменшого значення функція не має. Отже, область значень функції — проміжок $(-\infty;-4\rbrack$.

Варіант Б. $(-\infty;-4)$ не містить числа $-4$, хоча функція набуває цього значення у вершині параболи; варіант Г. $\lbrack-4;+\infty)$ був би областю значень, якби гілки параболи були спрямовані вгору.

Відповідь:

✅ В. $(-\infty;-4\rbrack$.