Завдання № 2 С-5 [9М] Варіант 1

Самостійна робота (сторінка 20)

Тема: Перетворення графіків функцій. Квадратична функція, її графік і властивості

Визначте напрям гілок, знайдіть координати вершини і побудуйте схематично графік функції $y=-x^{2}+4x$. Знайдіть область значень цієї функції.

Розв’язок:

Графіком функції $y=-x^{2}+4x$ є парабола. Оскільки $a=-1<0$, гілки параболи спрямовані вниз.

Знайдемо координати вершини параболи:

$x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2;$

$y_{\text{в}}=-2^{2}+4\cdot2=-4+8=4.$

Отже, точка $(2;4)$ — вершина параболи. Тоді пряма $x=2$ є віссю симетрії параболи.

Складемо таблицю значень функції для кількох точок параболи, симетричних відносно прямої $x=2$:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$

Позначимо вершину параболи і точки з таблиці на координатній площині та сполучимо їх плавною лінією (пунктиром показано вісь симетрії $x=2$):

Гілки параболи спрямовані вниз, тому найбільше значення функції дорівнює ординаті вершини, тобто $4$, а найменшого значення функція не має. Отже, область значень функції — проміжок $(-\infty;4\rbrack$.

Відповідь:

Гілки спрямовані вниз; вершина $(2;4)$; область значень — $(-\infty;4\rbrack$.