Завдання № 3 С-6 [12М] Варіант 2

Самостійна робота (сторінка 28)

Тема: Квадратна нерівність. Система двох рівнянь з двома змінними. Система двох рівнянь з двома змінними як математична модель прикладної задачі

Різниця двох натуральних чисел дорівнює $3$, а сума взаємно обернених з ними чисел дорівнює $\frac{1}{2}$. Знайдіть ці числа.

Нехай $x$ — більше з шуканих чисел, а $y$ — менше. Маємо систему рівнянь:

$\begin{cases} x-y=3, \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}. \end{cases}$

Розв’яжемо систему способом підстановки. З першого рівняння $x=y+3$:

$\begin{cases} x=y+3, \\ \frac{1}{y+3}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}. \end{cases}$

Помножимо обидві частини другого рівняння на $2y(y+3)$, де $y\neq0$ і $y\neq-3$:

$2y+2(y+3)=y(y+3);$

$2y+2y+6=y^{2}+3y;$

$y^{2}-y-6=0;$

$D=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=$

$=1+24=25;$

$y_{1}=\frac{1-5}{2}=-2$, $y_{2}=\frac{1+5}{2}=3$.

Число $y=-2$ не натуральне, тому цей розв’язок не задовольняє умову задачі.

Якщо $y=3$, то $x=3+3=6$.

Перевірка: $6-3=3$; $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

$3$ і $6$.