Завдання № 3 С-6 [12М] Варіант 3

Самостійна робота (сторінка 29)

Тема: Квадратна нерівність. Система двох рівнянь з двома змінними. Система двох рівнянь з двома змінними як математична модель прикладної задачі

Різниця двох натуральних чисел дорівнює $5$, а сума взаємно обернених з ними чисел дорівнює $\frac{1}{6}$. Знайдіть ці числа.

Нехай $x$ — більше з шуканих чисел, а $y$ — менше. Маємо систему рівнянь:

$\begin{cases} x-y=5, \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}. \end{cases}$

Розв’яжемо систему способом підстановки. З першого рівняння $x=y+5$:

$\begin{cases} x=y+5, \\ \frac{1}{y+5}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}. \end{cases}$

Помножимо обидві частини другого рівняння на $6y(y+5)$, де $y\neq0$ і $y\neq-5$:

$6y+6(y+5)=y(y+5);$

$6y+6y+30=y^{2}+5y;$

$y^{2}-7y-30=0;$

$D=(-7)^{2}-4\cdot1\cdot(-30)=$

$=49+120=169;$

$y_{1}=\frac{7-13}{2}=-3$, $y_{2}=\frac{7+13}{2}=10$.

Число $y=-3$ не натуральне, тому цей розв’язок не задовольняє умову задачі.

Якщо $y=10$, то $x=10+5=15$.

Перевірка: $15-10=5$; $\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{2}{30}+\frac{3}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$.

$10$ і $15$.