Завдання № 3 С-6 [12М] Варіант 4

Самостійна робота (сторінка 29)

Тема: Квадратна нерівність. Система двох рівнянь з двома змінними. Система двох рівнянь з двома змінними як математична модель прикладної задачі

Сума двох натуральних чисел дорівнює $10$, а різниця взаємно обернених з ними чисел дорівнює $\frac{1}{12}$. Знайдіть ці числа.

Розв’язок:

Нехай $x$ — менше з шуканих чисел, а $y$ — більше. Тоді $\frac{1}{x}>\frac{1}{y}$, і різниця взаємно обернених з ними чисел дорівнює $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$. Маємо систему рівнянь:

$\begin{cases} x+y=10, \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{12}. \end{cases}$

Розв’яжемо систему способом підстановки. З першого рівняння $y=10-x$:

$\begin{cases} y=10-x, \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{10-x}=\frac{1}{12}. \end{cases}$

Помножимо обидві частини другого рівняння на $12x(10-x)$, де $x\neq0$ і $x\neq10$:

$12(10-x)-12x=x(10-x);$

$120-12x-12x=10x-x^{2};$

$x^{2}-34x+120=0;$

$D=(-34)^{2}-4\cdot1\cdot120=$

$=1156-480=676;$

$x_{1}=\frac{34-26}{2}=4$, $x_{2}=\frac{34+26}{2}=30$.

Якщо $x=4$, то $y=10-4=6$.

Якщо $x=30$, то $y=10-30=-20$ — не натуральне число, тому цей розв’язок не задовольняє умову задачі.

Перевірка: $4+6=10$; $\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3}{12}-\frac{2}{12}=\frac{1}{12}$.

Відповідь:

$4$ і $6$.