Завдання № 8 ДР-4 [7М] Варіант 4

Діагностична робота (сторінка 39)

Тема: Правильні многокутники. Довжина кола. Площа круга

Хорда, довжина якої $5\sqrt{3}$ см, стягує дугу кола, градусна міра якої становить $120^{\circ}$. Знайдіть довжину кола.

Розв’язок:

Нехай $AB$ — дана хорда, $O$ — центр кола, $R$ — його радіус. Тоді $OA=OB=R$.

Центральний кут $AOB$ спирається на дугу $AB$, тому його градусна міра дорівнює градусній мірі цієї дуги: $\angle AOB=120^{\circ}$.

За теоремою косинусів для трикутника $AOB$:

$AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2\cdot OA\cdot OB\cdot\cos\angle AOB;$

$(5\sqrt{3})^{2}=R^{2}+R^{2}-2\cdot R\cdot R\cdot\cos 120^{\circ};$

$75=2R^{2}-2R^{2}\cdot\left(-\frac{1}{2} \right);$

$75=3R^{2};$

$R^{2}=25;$

$R=5$ (см).

Довжину кола обчислюємо за формулою $C=2\pi R$:

$C=2\pi\cdot5=10\pi$ (см).

Відповідь:

$10\pi$ см.