Ти навчишся порівнювати числа й вирази за знаком різниці, доводити нерівності для всіх значень змінних і застосовувати нерівність Коші.
Найчастіше помиляються, коли після мінуса забувають дужки, перевіряють нерівність лише на кількох числах або застосовують нерівність Коші до від'ємних чисел. Переглянь розділ «Де найчастіше помиляються», щоб перевірити ці кроки.
Як порівнювати числа за різницею
Числова нерівність — це нерівність, частинами якої є числа або числові вирази. У записі $3+4\gt 6$ вираз $3+4$ стоїть ліворуч від знака, а число 6 — праворуч.
Раніше ти порівнював натуральні числа, десяткові й звичайні дроби різними способами, а знак різниці дає одне правило для всіх чисел. Різниця 9 − 4 = 5 додатна, тому $9\gt 4$; різниця 2 − 7 = −5 від'ємна, тому $2\lt 7$. Якщо різниця дорівнює нулю, числа рівні:
6 − 6 = 0.
Означення порівняння чисел. $a\gt b$, якщо $a-b\gt 0$; $a\lt b$, якщо $a-b\lt 0$; $a=b$, якщо $a-b=0$.
Різниця $a-b$ показує, на скільки число $a$ більше за $b$. Якщо після віднімання лишилося додатне число, то $a$ більше за $b$.
Як порівняти числа за допомогою різниці?
- Склади різницю першого і другого числа або виразу.
- Спрости різницю так, щоб побачити її знак. За потреби зведи дроби до спільного знаменника, розкрий дужки або звільни знаменник від кореня.
- Визнач знак різниці й запиши відповідь за означенням. Додатна різниця означає, що перше число більше за друге, від'ємна — що перше число менше від другого, а нульова — що числа рівні.
Приклад 1. Порівняй числа $\frac{7}{12}$ і 0,6.
Розв'язання.
| $\frac{7}{12}-0{,}6=\frac{7}{12}-\frac{3}{5}=$ | |
| $=\frac{35-36}{60}=-\frac{1}{60}\lt 0$. |
- 1)Складемо різницю числа $\frac{7}{12}$ і 0,6. Запишемо 0,6 дробом $\frac{3}{5}$, бо так зручно віднімати дроби.
- 2)Спільний знаменник дорівнює 60, тому додаткові множники — 5 і 12. Різниця дорівнює $\frac{7\cdot5-3\cdot12}{60}=-\frac{1}{60}$.
- 3)Різниця від'ємна, тому перше число менше від другого.
Відповідь: $\frac{7}{12}\lt 0{,}6$.
Іноді умова вже дає різницю: якщо $m-n=-3$, то $m\lt n$. Якщо $x+5=y$, то $y-x=5$, тому $y\gt x$ і $x\lt y$.
На координатній прямій меншому числу відповідає точка лівіше, а більшому — правіше. Нехай $x\lt y$ і $z\gt y$. Щоб позначити ці точки на прямій, спершу постав $y$, потім $x$ ліворуч від неї, а $z$ — праворуч.
Строгі й нестрогі нерівності. Знаки $\gt$ і $\lt$ називають знаками строгої нерівності.
Знаки $\geqslant$ («більше або дорівнює») і $\leqslant$ («менше або дорівнює») називають знаками нестрогої нерівності.
$a\geqslant b$, якщо $a-b\geqslant 0$; $a\leqslant b$, якщо $a-b\leqslant 0$.
Нерівність $a\geqslant b$ правильна, коли $a\gt b$ або $a=b$: тому правильні і $5\geqslant 5$, і $7\geqslant 5$.
Нерівності бувають правильними й неправильними. Нерівність $-2\gt-11$ правильна, бо $-2-(-11)=9\gt0$, а $0{,}3\gt0{,}35$ неправильна, бо різниця $-0{,}05\lt0$.
Приклад 2. Порівняй числа $\sqrt{6}-2$ і $\frac{1}{\sqrt{6}+2}$.
Розв'язання.
| 1) | $\frac{1}{\sqrt{6}+2}=\frac{\sqrt{6}-2}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)}=$ |
| $=\frac{\sqrt{6}-2}{6-4}=\frac{\sqrt{6}-2}{2}$; | |
| 2) | $(\sqrt{6}-2)-\frac{\sqrt{6}-2}{2}=\frac{\sqrt{6}-2}{2}\gt 0$. |
- 1)Помножимо чисельник і знаменник другого дробу на $\sqrt{6}-2$, щоб прибрати корінь зі знаменника. За формулою різниці квадратів знаменник дорівнює $(\sqrt{6})^2-2^2=6-4=2$.
- 2)Різниця дорівнює $\frac{\sqrt{6}-2}{2}$, бо від числа відняли його половину. Вона додатна, оскільки $\sqrt{6}\gt\sqrt{4}=2$.
Відповідь: $\sqrt{6}-2\gt\frac{1}{\sqrt{6}+2}$.
Після звільнення від кореня в знаменнику числа іноді рівні: $\frac{1}{\sqrt{10}+3}=\frac{\sqrt{10}-3}{10-9}=\sqrt{10}-3$. Тоді їхня різниця дорівнює нулю.
Як довести нерівність для всіх значень змінних
Довести нерівність означає показати, що вона правильна для всіх значень змінних з умови. Перевірка кількох чисел не доводить цього, бо значень може бути безліч. Щоб довести нерівність, знайди знак різниці її лівої та правої частин.
Як довести нерівність за допомогою різниці?
- Склади різницю лівої та правої частин і візьми праву частину в дужки, бо знак мінус стосується всіх її членів.
- Спрости різницю, поки її знак не стане зрозумілим. Вона може дорівнювати числу, квадрату двочлена, сумі квадратів із додатним числом або добутку множників з відомими знаками.
- Визнач знак різниці: квадрат будь-якого числа невід'ємний, а сума невід'ємного й додатного чисел додатна. Добуток двох множників одного знака додатний, а різних знаків — від'ємний.
- За знаком різниці зроби висновок про нерівність і напиши: «Твердження доведено.»
Приклад 3. Доведи нерівність $(a+2)(a-5)\lt$ $(a-1)(a-2)$.
Доведення.
| $(a+2)(a-5)-(a-1)(a-2)=$ | |
| $=a^2-3a-10-(a^2-3a+2)=$ | |
| $=a^2-3a-10-a^2+3a-2=$ | |
| $=-12\lt 0$. |
- 1)Складемо різницю лівої та правої частин. Перемножимо дужки: $(a+2)(a-5)=a^2-3a-10$ і $(a-1)(a-2)=a^2-3a+2$. Другий добуток узяли в дужки, бо перед ним стоїть мінус.
- 2)Розкриємо дужки після мінуса й змінимо знаки всіх членів. Подібні члени знищаться, і залишиться $-10-2=-12$.
- 3)Різниця дорівнює $-12$ за будь-якого $a$, тому вона від'ємна. Отже, ліва частина менша за праву для кожного $a$.
Отже, $(a+2)(a-5)\lt(a-1)(a-2)$ за будь-якого $a$. Твердження доведено.
Так само можна порівняти два вирази зі змінною. Якщо їхня різниця дорівнює від'ємному числу, перший вираз завжди менший.
Приклад 4. Доведи нерівність $x^2+1\geqslant2(3x-4)$.
Доведення.
| $x^2+1-2(3x-4)=$ | |
| $=x^2+1-6x+8=$ | |
| $=x^2-6x+9=(x-3)^2\geqslant 0$. |
- 1)Складемо різницю лівої та правої частин і розкриємо дужки: $-2(3x-4)=-6x+8$. Після зведення подібних членів маємо $x^2-6x+9$.
- 2)Вираз $x^2-6x+9$ є квадратом двочлена. Справді, $x^2-2\cdot x\cdot3+3^2=(x-3)^2$.
- 3)Квадрат будь-якого числа невід'ємний, тому $(x-3)^2\geqslant0$ для кожного $x$. Отже, ліва частина нерівності не менша за праву.
Отже, $x^2+1\geqslant2(3x-4)$ для будь-якого $x$. Рівність можлива лише за $x=3$, коли обидві частини дорівнюють 10. Твердження доведено.
Так само $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\geqslant 0$, тому $a^2+b^2\geqslant 2ab$. Якщо різниця частин дорівнює $-(x-5)^2$, вона не більша за нуль, тому ліва частина не більша за праву.
Щоб показати, що нерівність правильна не для всіх $x$, досить знайти одне значення, за якого вона хибна. Наприклад, $x^2\gt0$ хибна за $x=0$, бо $0^2=0$, тоді як $x^2\geqslant0$ правильна для кожного $x$.
Приклад 5. Доведи нерівність $a^2+8a+b^2-2b+20\gt0$.
Доведення.
| $a^2+8a+b^2-2b+20=$ | |
| $=(a^2+8a+16)-16+$ | |
| $+(b^2-2b+1)-1+20=$ | |
| $=(a+4)^2+(b-1)^2+3\gt 0$. |
- 1)Права частина дорівнює нулю, тому різниця частин дорівнює лівій частині. Згрупуємо доданки з $a$ і з $b$, щоб виділити квадрати двочленів.
- 2)Оскільки $8a=2\cdot a\cdot 4$, у дужці стоїть половина коефіцієнта біля $a$: додамо й віднімемо $4^2=16$. Для $b^2-2b$ маємо $2b=2\cdot b\cdot 1$, тому додамо й віднімемо $1^2=1$.
- 3)Маємо $a^2+8a+16=(a+4)^2$ і $b^2-2b+1=(b-1)^2$. Решта чисел дає $-16-1+20=3$.
- 4)Квадрати $(a+4)^2$ і $(b-1)^2$ невід'ємні, а число 3 додатне. Тому їхня сума з 3 додатна.
Отже, $a^2+8a+b^2-2b+20\gt0$ за будь-яких $a$ і $b$. Твердження доведено.
Якщо в різниці є добуток двох змінних, наприклад $x^2+y^2-xy$, помнож її на 2: це дає член $-2xy$, потрібний для квадрата різниці. Подвоєний вираз дорівнює сумі квадратів і тому невід’ємний, а отже, невід’ємний і сам вираз.
| $2(x^2+y^2-xy)=$ | |
| $=x^2+y^2+(x-y)^2\geqslant 0$; | |
| $x^2+y^2\geqslant xy$. |
З однією змінною діємо так само: $a^2-4a+7=(a-2)^2+3\gt0$. Вираз $-(x-1)^2-3$ менший за нуль для кожного $x$, бо $-(x-1)^2\leqslant0$.
Приклад 6. Доведи, що $x^3-2x^2+4x-8\geqslant0$, якщо $x\geqslant2$.
Доведення.
| $x^3-2x^2+4x-8=$ | |
| $=x^2(x-2)+4(x-2)=$ | |
| $=(x-2)(x^2+4)$. |
- 1)У виразі є $x^3$, тому він не може бути квадратом двочлена. Перші два й останні два доданки мають спільні множники: винесемо $x^2$ і 4 відповідно, а потім — спільну дужку $(x-2)$.
- 2)За означенням нестрогої нерівності $x-2\geqslant0$, бо $x\geqslant2$. Множник $x^2+4$ додатний, оскільки $x^2\geqslant0$.
- 3)Добуток невід'ємного й додатного множників невід'ємний, тому $(x-2)(x^2+4)\geqslant0$. Рівність настає лише за $x=2$.
Отже, $x^3-2x^2+4x-8\geqslant0$ для всіх $x\geqslant2$. Ця умова потрібна, щоб множник $x-2$ був невід'ємним. Твердження доведено.
Так само розкладай вираз на множники, коли умова задає знак змінної. Після розкладання визнач знак кожного множника окремо.
Приклад 7. Доведи, що $\frac{4}{a+5}\gt\frac{1}{a+2}$, якщо $a$ — додатне число.
Доведення.
| $\frac{4}{a+5}-\frac{1}{a+2}=\frac{4(a+2)-(a+5)}{(a+5)(a+2)}=$ | |
| $=\frac{4a+8-a-5}{(a+5)(a+2)}=\frac{3a+3}{(a+5)(a+2)}$. |
- 1)Складемо різницю дробів і зведемо її до спільного знаменника $(a+5)(a+2)$. Додатковими множниками будуть $a+2$ для першого дробу й $a+5$ для другого.
- 2)У чисельнику розкриємо дужки, а вираз $a+5$ після мінуса візьмемо в дужки. Змінимо його знаки й зведемо подібні члени: $4a-a=3a$, $8-5=3$.
- 3)Оскільки $a\gt0$, чисельник $3a+3$ додатний, як і множники знаменника $a+5$ та $a+2$. Отже, дріб додатний.
Різниця додатна, тому нерівність правильна для кожного додатного $a$. Твердження доведено.
Нерівність Коші для середнього арифметичного й геометричного
Середнім арифметичним чисел $a$ і $b$ називають число $\frac{a+b}{2}$. Для невід'ємних чисел їхнім середнім геометричним називають $\sqrt{ab}$; для чисел 2 і 8 ці середні дорівнюють 5 і 4.
Нерівність Коші. Середнє арифметичне двох невід'ємних чисел не менше від їхнього середнього геометричного: $\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$, де $a\geqslant 0$, $b\geqslant 0$.
| $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=$ | |
| $=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\geqslant 0$. |
Зведемо різницю лівої та правої частин до знаменника 2. Оскільки $a=(\sqrt{a})^2$, $b=(\sqrt{b})^2$ і $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$, чисельник дорівнює $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$. Квадрат невід'ємний, тому різниця не менша за нуль.
Рівність у нерівності Коші настає тоді й лише тоді, коли $a=b$, бо тоді $\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$. Якщо $a\ne b$, то $\frac{a+b}{2}\gt\sqrt{ab}$.
Щоб довести, що сума двох додатних чисел не менша за певне число, запиши для них нерівність Коші. Під коренем буде їхній добуток, який часто спрощується до числа. Потім помнож обидві частини нерівності Коші на 2, бо ліворуч у ній стоїть половина суми.
Приклад 8. Доведи, що $\frac{9a}{4b}+\frac{b}{a}\geqslant3$, якщо $a\gt0$ і $b\gt0$.
Доведення.
| $\frac{\frac{9a}{4b}+\frac{b}{a}}{2}\geqslant\sqrt{\frac{9a}{4b}\cdot\frac{b}{a}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$; | |
| $\frac{9a}{4b}+\frac{b}{a}\geqslant 2\cdot\frac{3}{2}=3$. |
- 1)За умовою $a$ і $b$ додатні, тому обидва доданки додатні. До цих доданків можна застосувати нерівність Коші.
- 2)Під коренем стоїть добуток доданків, у якому $a$ і $b$ скорочуються. Залишається $\frac{9}{4}$, а $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$.
- 3)Помножимо обидві частини на 2: $2\cdot\frac{3}{2}=3$.
Отже, нерівність правильна для всіх додатних $a$ і $b$. Твердження доведено.
Якщо $a$ і $b$ одного знака, дроби $\frac{a}{b}$ і $\frac{b}{a}$ додатні, а їхній добуток дорівнює 1. За нерівністю Коші $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant2$. Якщо $a$ і $b$ різних знаків, то $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-(-2)=\frac{a^2+b^2+2ab}{ab}=\frac{(a+b)^2}{ab}$. Чисельник невід'ємний, а знаменник від'ємний, бо $a$ і $b$ різних знаків, тож $ab\lt 0$; тому різниця не більша за нуль і $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leqslant-2$.
Як побачити нерівність на кресленні
Візьмемо додатні числа $a$ і $b$, де $a\gt b$, та складемо квадрат зі стороною $a+b$. У ньому розмістимо чотири однакові прямокутники зі сторонами $a$ і $b$; посередині залишиться маленький квадрат.
Сторона маленького квадрата дорівнює $a-b$, бо від сторони $a$ відрізали відрізок довжини $b$. Площа великого квадрата дорівнює площі чотирьох прямокутників і маленького квадрата.
$(a+b)^2=4ab+(a-b)^2\geqslant 4ab$.
Рівність настає лише за $a=b$, коли маленький квадрат зникає; на кресленні взято $a\gt b$, щоб його було видно. Розкриття дужок нижче підтверджує цю саму рівність.
| $(a+b)^2-4ab=$ | |
| $=a^2+2ab+b^2-4ab=$ | |
| $=(a-b)^2$. |
Різниця площ великого квадрата й чотирьох прямокутників дорівнює площі маленького квадрата. Площа квадрата невід'ємна, тому ця різниця не менша за нуль.
Як порівняти величини в текстовій задачі
Приклад 9. Визнач, хто з двох друзів купив більше наліпок.
Андрій і Богдан мали однакову суму грошей $S$ грн. Андрій половину витратив на наліпки по 2 грн, а решту — на наліпки по 8 грн; Богдан усі гроші витратив на наліпки по 5 грн. Хто купив більше наліпок, якщо обидва витратили всі гроші?
Розв'язання.
| 1) | $\frac{S}{2}:2+\frac{S}{2}:8=\frac{S}{4}+\frac{S}{16}=\frac{5S}{16}$ (наліпок) — купив Андрій; |
| 2) | $\frac{S}{5}$ (наліпок) — купив Богдан; |
| 3) | $\frac{5S}{16}-\frac{S}{5}=\frac{25S-16S}{80}=\frac{9S}{80}\gt 0$. |
- 1)Щоб знайти кількість наліпок, поділи суму грошей на ціну однієї наліпки. Андрій поділив кожну половину $\frac{S}{2}$ на її ціну й отримав разом $\frac{4S}{16}+\frac{S}{16}=\frac{5S}{16}$ наліпок.
- 2)Богдан поділив усю суму $S$ на 5, тому купив $\frac{S}{5}$ наліпок.
- 3)Порівняй кількості за різницею та зведи дроби до знаменника 80. Різниця дорівнює $\frac{9S}{80}$ і додатна, бо сума грошей $S$ додатна; отже, Андрій купив більше.
Відповідь: Андрій купив більше наліпок.
Може здатися, що Андрій платив у середньому 5 грн за наліпку, бо середнє цін 2 і 8 грн дорівнює $\frac{2+8}{2}=5$. Але за ціною 2 грн він купив більше наліпок, ніж за 8 грн, тому середня ціна покупки нижча. Якщо $S=80$, Андрій купив 20 + 5 = 25 наліпок, а Богдан — 16; середня ціна наліпки Андрія становила 80 : 25 = 3,2 грн.
Як перевірити себе
- Після порівняння чисел за різницею наближено обчисли їх десятковими дробами. Порядок має збігтися: $\frac{7}{12}\approx0{,}58$, а $0{,}58\lt0{,}6$.
- Після виділення квадрата розкрий його назад і порівняй із початковим виразом: так перевіриш, чи повернув додане й відняте число. Наприклад, $a^2+8a=(a+4)^2-16$, бо $(a+4)^2=a^2+8a+16$, а віднімання 16 повертає вираз до $a^2+8a$.
- Підстав у доведену нерівність кілька чисел, зокрема те, за якого квадрат двочлена в різниці дорівнює нулю. Нестрога нерівність має стати рівністю саме там; перевірка допомагає знайти помилку, але не замінює доведення.
- Перед застосуванням нерівності Коші перевір, що обидва числа невід'ємні. Якщо обидва числа від'ємні, їхня сума від'ємна, а корінь невід'ємний, тому нерівність Коші не діє. Якщо числа різних знаків, їхній добуток від'ємний, тому корінь із нього не добувають.
Де найчастіше помиляються
1. Після мінуса не взяли вираз у дужки
Завдання: довести нерівність $(a+1)(a-3)\lt(a-1)^2$.
Неправильно
| $a^2-2a-3-a^2-2a+1=$ | |
| $=-4a-2$ — знак залежить від $a$. |
Правильно
| $a^2-2a-3-(a^2-2a+1)=$ | |
| $=a^2-2a-3-a^2+2a-1=$ | |
| $=-4\lt 0$. |
Що сталося: Запис $(a-1)^2=a^2-2a+1$ залишили після мінуса без дужок, тому змінили знак лише першого члена. Мінус стосується всього виразу, тож візьми його в дужки й зміни знаки всіх членів.
Як помітити: Якщо в доведенні знак різниці залежить від змінної, у перетвореннях, імовірно, є помилка. Перевір, чи взяв ти вираз у дужки після мінуса.
2. Перевірили кілька значень замість доведення
Завдання: довести нерівність $x^2+9\geqslant 6x$.
Неправильно
| $x=1$: $10\geqslant 6$; | |
| $x=2$: $13\geqslant 12$; | |
| $x=4$: $25\geqslant 24$ — нерівність правильна. |
Правильно
| $x^2+9-6x=(x-3)^2\geqslant 0$ | |
| за будь-якого $x$. |
Що сталося: Нерівність перевірили лише для трьох значень $x$, але значень безліч. Серед неперевірених може бути таке, за якого нерівність хибна. Різниця показує знак одразу для всіх значень змінної.
Як помітити: Якщо доведення містить лише підстановки чисел і жодного перетворення з буквами, це перевірка, а не доведення.
3. Застосували нерівність Коші без перевірки знаків
Завдання: чи правильно, що $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant 2$ для будь-яких $a\ne 0$ і $b\ne 0$?
Неправильно
| $\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{2}\geqslant\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=1$; | |
| так, правильно для будь-яких $a$ і $b$. |
Правильно
| $a=1$, $b=-1$: $\frac{1}{-1}+\frac{-1}{1}=-2$, $-2\lt 2$; | |
| ні, не для будь-яких. |
Що сталося: Нерівність Коші застосовують до невід'ємних чисел. Якщо $a$ і $b$ різних знаків, обидва дроби від'ємні й сума теж від'ємна. Тому нерівність $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant2$ правильна лише для чисел одного знака.
Як помітити: Якщо в умові не сказано, що числа додатні, підстав числа різних знаків, наприклад 1 і $-1$. Якщо нерівність хибна, значить, нерівність Коші застосували без перевірки знаків.
Спробуй сам
- Порівняй числа $\frac{5}{8}$ і 0,63.
- Яке з чисел $m$ чи $n$ більше, якщо $m-6=n$?
- Порівняй числа $\sqrt{17}-4$ і $\frac{1}{\sqrt{17}+4}$.
- Доведи нерівність $(b-4)(b+1)\gt(b-2)(b-1)-8$.
- Доведи нерівність $m^2+25\geqslant 10m$.
- Чи правильна за будь-якого значення $x$ нерівність $(x+2)^2\gt 0$?
- Доведи нерівність $x^2+y^2-2x+6y+11\gt 0$.
- Доведи, що $\frac{2}{a+1}\gt\frac{1}{a+3}$, якщо $a$ — додатне число.
- Доведи, що $\frac{a}{b}+\frac{4b}{a}\geqslant 4$, якщо $a\gt 0$ і $b\gt 0$.
- Оля купила $n$ кг яблук по 30 грн за кілограм. Ірина купила $n$ кг яблук: половину по 24 грн, а другу половину по 38 грн за кілограм. Хто з дівчат витратив більше грошей?
Перевірити відповіді
- $\frac{5}{8}\lt 0{,}63$, бо $0{,}625-0{,}63=-0{,}005\lt 0$.
- $m\gt n$, бо $m-n=6\gt 0$.
- Числа рівні: $\frac{1}{\sqrt{17}+4}=\frac{\sqrt{17}-4}{17-16}=\sqrt{17}-4$.
- Різниця дорівнює 2, $2\gt 0$.
- Різниця дорівнює $(m-5)^2\geqslant 0$.
- Ні: за $x=-2$ маємо $0^2=0$, а $0\gt 0$ — хибно.
- Доведення — нижче.
- Різниця дорівнює $\frac{a+5}{(a+1)(a+3)}\gt 0$.
- Доведення — нижче.
- Ірина: $\frac{n}{2}\cdot 24+\frac{n}{2}\cdot 38=31n$ грн, а $31n-30n=n\gt 0$; більше витратила Ірина.
Повне розв'язання завдання 7
| $x^2+y^2-2x+6y+11=$ | |
| $=(x^2-2x+1)-1+$ | |
| $+(y^2+6y+9)-9+11=$ | |
| $=(x-1)^2+(y+3)^2+1\gt 0$. |
До $x^2-2x$ додали й відняли 1, а до $y^2+6y$ — 9. Числа дають $-1-9+11=1$, тому сума двох невід'ємних квадратів і 1 додатна. Твердження доведено.
Повне розв'язання завдання 9
| $\frac{\frac{a}{b}+\frac{4b}{a}}{2}\geqslant\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{4b}{a}}=\sqrt{4}=2$; | |
| $\frac{a}{b}+\frac{4b}{a}\geqslant 2\cdot 2=4$. |
Оскільки $a$ і $b$ додатні, обидва доданки додатні й нерівність Коші застосовна. Під коренем $a$ і $b$ скоротилися, лишилося 4; множення на 2 дає 4. Твердження доведено.
Якщо твоя відповідь не збіглася, переглянь розділ «Де найчастіше помиляються». Можливо, ти загубив дужки після мінуса або не перевірив знаки чисел.
Для батьків
Попросіть дитину пояснити, чому для порівняння чисел достатньо знати знак їхньої різниці. Нехай вона покаже це на числах 9 і 4: різниця дорівнює 5, тому 9 більше за 4. Так дитина побачить, що одне правило діє для будь-яких чисел.
Якщо дитина «доводить» нерівність підстановкою чисел, запитайте, чи перевірила вона всі числа. Нехай пояснить, чому квадрат будь-якого числа невід'ємний: на цьому ґрунтується багато доведень у параграфі.