Ти навчишся почленно додавати й множити числові нерівності, оцінювати суму, різницю, добуток і частку виразів та доводити нерівності.
Нерівності часто помилково віднімають або ділять почленно. Також помилково перемножують нерівності з від’ємними частинами. Перевір себе в розділі «Де найчастіше помиляються».
Як додавати нерівності почленно
Нерівності одного знака — це нерівності, у яких стоїть однаковий знак нерівності: обидва «менше» або обидва «більше». Додаючи їх почленно, додай окремо ліві частини, окремо праві частини і між сумами постав той самий знак нерівності.
Властивість 5. Якщо $a\lt b$ і $c\lt d$, то $a+c\lt b+d$.
До обох частин $a\lt b$ додамо $c$ і дістанемо $a+c\lt b+c$. До обох частин $c\lt d$ додамо $b$: маємо $b+c\lt b+d$. Якщо перше число менше від другого, а друге менше від третього, то перше менше від третього, тому $a+c\lt b+d$.
Якщо $a\gt b$ і $c\gt d$, то $a+c\gt b+d$. Так само додають почленно три й більше нерівностей одного знака.
Запиши нерівності одну під одною так, щоб знаки нерівності стояли один під одним, і постав ліворуч між ними знак «+». Під рискою запиши суму лівих частин, той самий знак і суму правих частин.
| 4 | $\gt$ | 1 | |||
| + | |||||
| 6 | $\gt$ | −2 | |||
| 10 | $\gt$ | −1 | |||
Додамо $4\gt1$ і $6\gt-2$ почленно. Суми лівих і правих частин дорівнюють 10 і −1, тому $10\gt-1$.
У нерівностях стоять різні знаки: $4\gt1$ і $2\lt5$. Поміняй місцями частини другої нерівності: $5\gt2$, бо записи $2\lt5$ і $5\gt2$ означають одне й те саме. Тепер обидві нерівності мають знак «більше», тому додай їх почленно: $4+5=9$ і $1+2=3$, отже, $9\gt3$.
| 4 | $\gt$ | 1 | |||
| + | |||||
| 5 | $\gt$ | 2 | |||
| 9 | $\gt$ | 3 | |||
Коли можна перемножувати нерівності почленно
Властивість 6. Якщо $a\lt b$ і $c\lt d$, де $a$, $b$, $c$, $d$ — додатні числа, то $ac\lt bd$.
Почленно перемножити означає перемножити окремо ліві й праві частини, зберігши знак. Це дозволено, лише якщо всі чотири частини додатні.
Помножимо $a\lt b$ на додатне $c$: $ac\lt bc$. Помножимо $c\lt d$ на додатне $b$: $bc\lt bd$. Якщо перше число менше від другого, а друге менше від третього, то перше менше від третього, тому $ac\lt bd$.
Якщо $a\gt b$ і $c\gt d$, а всі частини додатні, то $ac\gt bd$. Так само перемножують три й більше нерівностей із додатними частинами.
| 1 | $\lt$ | 3 | |||
| × | |||||
| 4 | $\lt$ | 6 | |||
| 4 | $\lt$ | 18 | |||
Усі частини $1\lt3$ і $4\lt6$ додатні, тому множимо почленно. Ліві частини дають 4, а праві частини дають 18, отже, $4\lt18$. У записі між рядками ліворуч ставлять знак «×».
Якщо серед частин є від’ємне число, почленне множення може дати хибну нерівність, бо від’ємний множник змінює порядок добутків. Перевір усі чотири частини: правило діє лише тоді, коли кожна частина додатна. Якщо в умові не сказано, що всі числа додатні, нерівності почленно не перемножуй.
Наслідок. Якщо $a$ і $b$ — додатні числа і $a\lt b$, то $a^n\lt b^n$, де $n$ — натуральне число.
Нерівність $a\lt b$ можна перемножити саму на себе $n$ разів, бо частини додатні. Наприклад, з $2\lt3$ маємо $2^3\lt3^3$, тобто $8\lt27$.
Як оцінити суму, різницю, добуток і частку
Оцінити вираз $a+b$ означає знайти два числа, між якими лежить його значення для всіх $a$ і $b$ з умови. Відповідь записують подвійною нерівністю. Подвійні нерівності одного знака додають почленно: ліві частини додають із лівими частинами, середні частини додають із середніми частинами, а праві частини додають із правими частинами; посередині виходить сума середніх виразів.
Алгоритм оцінювання суми, різниці, добутку й частки
- Запиши подвійні нерівності з умови одна під одною так, щоб знаки нерівності стояли один під одним.
- Якщо змінна у виразі стоїть із множником, наприклад $2a$, спершу оціни $2a$: помнож усі частини нерівності для $a$ на цей множник. Якщо множник від’ємний, зміни обидва знаки нерівності.
- Запиши $a-b$ як $a+(-b)$ і спершу оціни $-b$. Помнож нерівність для $b$ на −1 і перепиши нерівність від меншого числа. Віднімати нерівності почленно не можна: різниця найменша тоді, коли від’ємник найбільший, а почленне віднімання бере найменший.
- Запиши частку $\frac{a}{b}$ як добуток $a\cdot\frac{1}{b}$ і спершу оціни $\frac{1}{b}$. З двох додатних чисел більше має менше обернене число, тому знаки змінюються: наприклад, з $2\lt 5$ випливає $\frac{1}{2}\gt\frac{1}{5}$. Якщо всі частини нерівності для $b$ додатні, перейди до обернених чисел; ділити почленно не можна, бо найбільший дільник дає найменшу частку.
- Додавай нерівності почленно, а множ почленно лише тоді, коли всі частини додатні. Суми чи добутки лівих частин утворюють ліву межу, а суми чи добутки правих частин — праву межу.
Приклад 1. Оціни $2a+b$, якщо $1\lt a\lt4$ і $-3\lt b\lt2$.
Розв'язання.
| $1\lt a\lt 4$ $\mid \cdot 2$ | |
| $2\lt 2a\lt 8$. |
| 2 | $\lt$ | $2a$ | $\lt$ | 8 | |
| + | |||||
| −3 | $\lt$ | $b$ | $\lt$ | 2 | |
| −1 | $\lt$ | $2a+b$ | $\lt$ | 10 | |
- 1)Оцінимо $2a$: помножимо всі частини $1\lt a\lt4$ на додатне 2. Знаки не зміняться, тому $2\lt2a\lt8$.
- 2)Нерівності $2\lt2a\lt8$ і $-3\lt b\lt2$ мають знак «менше», тому додамо їх. Ліві частини дають $2+(-3)=-1$, а праві частини дають $8+2=10$.
Відповідь: $-1\lt 2a+b\lt 10$.
За тих самих умов оцінка $a+b$ не потребує множення. Додавання дає $1+(-3)=-2$ і $4+2=6$, тобто $-2\lt a+b\lt6$.
Приклад 2. Оціни $x-y$, якщо $3\lt x\lt7$ і $1\lt y\lt4$.
Розв'язання.
| $x-y=x+(-y)$; | |
| $1\lt y\lt 4$ $\mid \cdot(-1)$ | |
| $-1\gt -y\gt -4$; | |
| $-4\lt -y\lt -1$. |
| 3 | $\lt$ | $x$ | $\lt$ | 7 | |
| + | |||||
| −4 | $\lt$ | $-y$ | $\lt$ | −1 | |
| −1 | $\lt$ | $x-y$ | $\lt$ | 6 | |
- 1)Запишемо $x-y=x+(-y)$, бо нерівності можна додавати, але не віднімати почленно. Спершу знайдемо межі для $-y$.
- 2)Помножимо $1\lt y\lt4$ на −1: обидва знаки зміняться, і матимемо $-1\gt-y\gt-4$. Перепишемо від меншого до більшого: $-4\lt-y\lt-1$.
- 3)Додамо $3\lt x\lt7$ і $-4\lt-y\lt-1$ почленно. Межі дорівнюють $3+(-4)=-1$ і $7+(-1)=6$.
Відповідь: $-1\lt x-y\lt 6$.
Різниця найменша, коли зменшуване найменше, а від’ємник найбільший, тому ліва межа дорівнює
3 − 4 = −1. Різниця найбільша, коли зменшуване найбільше, а від’ємник найменший: права межа дорівнює
7 − 1 = 6.
Так само розв’язують завдання, у яких для кожної змінної відома лише одна межа. Наприклад, якщо $m\gt 2$ і $n\lt -1$, то після множення на −1 маємо $-n\gt 1$. Почленне додавання нерівностей $m\gt 2$ і $-n\gt 1$ дає $m-n\gt 3$.
Приклад 3. Оціни добуток $xy$, якщо $2\lt x\lt5$ і $1{,}5\lt y\lt3$.
Розв'язання.
| 2 | $\lt$ | $x$ | $\lt$ | 5 | |
| × | |||||
| 1,5 | $\lt$ | $y$ | $\lt$ | 3 | |
| 3 | $\lt$ | $xy$ | $\lt$ | 15 | |
- 1)Ліві частини обох нерівностей, 2 і 1,5, додатні, тому додатні й усі інші частини.
- 2)Добутки лівих і правих частин дорівнюють $2\cdot1{,}5=3$ і $5\cdot3=15$. Знак «менше» зберігається.
Відповідь: $3\lt xy\lt 15$.
Якщо $1{,}2\lt p\lt2$, частини додатні, тому нерівність можна помножити саму на себе. Маємо $1{,}2^2=1{,}44$ і $2^2=4$, отже, $1{,}44\lt p^2\lt4$.
Приклад 4. Відомо, що $x\lt 2$ і $y\lt 5$. Чи можна стверджувати, що $xy\lt 10$?
Розв'язання.
| якщо $x=-3$, $y=-4$, то $-3\lt 2$, $-4\lt 5$; | |
| $xy=(-3)\cdot(-4)=12$, $12\gt 10$. |
- 1)В умові не сказано, що $x$ і $y$ додатні: вони можуть бути й від’ємними. Тому перемножувати нерівності почленно тут не можна.
- 2)Якщо $x=-3$ і $y=-4$, умова виконується, бо $-3\lt 2$ і $-4\lt 5$. Але $xy=12$, а $12\gt 10$.
Відповідь: ні, не можна.
Якщо $0\lt x\lt2$ і $0\lt y\lt5$, почленне множення дає $xy\lt10$. Так само можна стверджувати, що $xy\gt 10$, якщо $x\gt 2$ і $y\gt 5$: тут усі частини нерівностей додатні.
Приклад 5. Оціни частку $\frac ab$, якщо $8\lt a\lt15$ і $2\lt b\lt5$.
Розв'язання.
| $\frac{a}{b}=a\cdot\frac{1}{b}$; | |
| $2\lt b\lt 5$; | |
| $\frac{1}{2}\gt\frac{1}{b}\gt\frac{1}{5}$; | |
| $\frac{1}{5}\lt\frac{1}{b}\lt\frac{1}{2}$. |
| 8 | $\lt$ | $a$ | $\lt$ | 15 | |
| × | |||||
| $\frac{1}{5}$ | $\lt$ | $\frac{1}{b}$ | $\lt$ | $\frac{1}{2}$ | |
| $\frac{8}{5}$ | $\lt$ | $\frac{a}{b}$ | $\lt$ | $\frac{15}{2}$ | |
| $\frac{8}{5}=1{,}6$, $\frac{15}{2}=7{,}5$; | |
| $1{,}6\lt\frac{a}{b}\lt 7{,}5$. |
- 1)Почленно ділити не можна. Запишемо частку $a\cdot\frac1b$ і знайдемо межі для $\frac1b$.
- 2)Усі частини $2\lt b\lt5$ додатні. З двох додатних чисел більше має менше обернене число, тому обидва знаки змінюються: $\frac12\gt\frac1b\gt\frac15$. Перепишемо нерівність від меншого числа: $\frac15\lt\frac1b\lt\frac12$.
- 3)Усі частини нерівностей додатні, тому перемножимо їх почленно. Ліві частини дають $8\cdot\frac{1}{5}=1{,}6$, а праві частини дають $15\cdot\frac{1}{2}=7{,}5$.
Відповідь: $1{,}6\lt\frac{a}{b}\lt 7{,}5$.
Частка найменша, коли ділене найменше, а дільник найбільший:
8 : 5 = 1,6. Частка найбільша, коли ділене найбільше, а дільник найменший:
15 : 2 = 7,5.
Приклад 6. Порахуй, скільки пачок ламінату купити для кімнати.
Кімната прямокутна; довжина й ширина відомі приблизно: $4{,}2\lt a\lt4{,}3$ м і $3{,}1\lt b\lt3{,}2$ м. Пачка покриває 2 м². Скільки пачок купити, щоб ламінату точно вистачило?
Розв'язання.
$S=ab$;
| 4,2 | $\lt$ | $a$ | $\lt$ | 4,3 | |
| × | |||||
| 3,1 | $\lt$ | $b$ | $\lt$ | 3,2 | |
| 13,02 | $\lt$ | $ab$ | $\lt$ | 13,76 | |
| 13,76 : 2 = 6,88; | |
| потрібно 7 пачок. |
- 1)Площа прямокутної підлоги дорівнює добутку довжини на ширину: $S=ab$. Оцінимо цей добуток.
- 2)Усі частини нерівностей додатні, тому перемножимо їх почленно:
$4{,}2\cdot 3{,}1=13{,}02$ і $4{,}3\cdot 3{,}2=13{,}76$. Отже, площа підлоги більша за 13,02 м², але менша від 13,76 м². - 3)Рахуємо за найбільшою можливою площею 13,76 м²:
13,76 : 2 = 6,88 пачки. Пачок має бути ціла кількість, тому округлюємо вгору до 7. Шість пачок покриють 12 м², менше за 13,02 м².
Відповідь: 7 пачок.
Довжину плінтуса для тієї самої кімнати визначає периметр $P=2(a+b)$. Межі $7{,}3\lt a+b\lt7{,}5$ дають $14{,}6\lt P\lt15$, тому 15 м плінтуса точно вистачить.
Як доводити нерівності почленним множенням
За нерівністю Коші для невід’ємних чисел $x$ і $y$ середнє арифметичне не менше від середнього геометричного: $\frac{x+y}{2}\geqslant\sqrt{xy}$; знак читають «більше або дорівнює». Отже, $x+y\geqslant2\sqrt{xy}$. Щоб довести нерівність із добутком двох дужок, запиши нерівність Коші для кожної дужки окремо, а потім перемнож ці нерівності почленно.
Приклад 7. Доведи $(a+1)(b+1)\geqslant4\sqrt{ab}$, якщо $a\gt0$, $b\gt0$.
Доведення.
| 1) | $\frac{a+1}{2}\geqslant\sqrt{a\cdot 1}$, тому $a+1\geqslant 2\sqrt{a}$; |
| 2) | $\frac{b+1}{2}\geqslant\sqrt{b\cdot 1}$, тому $b+1\geqslant 2\sqrt{b}$. |
| $a+1$ | $\geqslant$ | $2\sqrt{a}$ | |||
| × | |||||
| $b+1$ | $\geqslant$ | $2\sqrt{b}$ | |||
| $(a+1)(b+1)$ | $\geqslant$ | $4\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ | |||
| $4\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=4\sqrt{ab}$; | |
| $(a+1)(b+1)\geqslant 4\sqrt{ab}$. |
- 1)За нерівністю Коші для $a$ і 1 маємо $\frac{a+1}{2}\geqslant\sqrt a$. Помножимо на додатне 2: $a+1\geqslant2\sqrt a$. Так само $b+1\geqslant2\sqrt b$.
- 2)Обидві нерівності мають знак $\geqslant$, а всі частини додатні. Множимо почленно: $(a+1)(b+1)\geqslant2\sqrt a\cdot2\sqrt b=4\sqrt{ab}$.
Отже, $(a+1)(b+1)\geqslant 4\sqrt{ab}$ для всіх додатних чисел $a$ і $b$. Твердження доведено.
Якщо $a\gt0$, числа $a$ і $\frac{1}{a}$ невід’ємні, тому нерівність Коші дає $a+\frac{1}{a}\geqslant2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=2$. Якщо $b\gt0$, так само маємо $b+\frac{1}{b}\geqslant2$. Додай нерівності почленно, щоб отримати $a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\geqslant4$.
У нерівності Коші рівність можлива лише для рівних чисел. Тому в $a+1\geqslant2\sqrt{a}$ вона настає лише за $a=1$, а за $a\ne1$ знак стає строгим. Доведемо, що $(a+1)(b+1)(c+1)\gt16$, якщо $a\gt0$, $b\gt0$, $c\gt0$ і $abc=4$.
| 1) | $a+1\geqslant 2\sqrt{a}$, $b+1\geqslant 2\sqrt{b}$, $c+1\geqslant 2\sqrt{c}$; |
| 2) | $(a+1)(b+1)(c+1)\geqslant$ |
| $\geqslant 2\cdot 2\cdot 2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}=$ | |
| $=8\sqrt{abc}=8\sqrt{4}=16$. |
Для кожної пари чисел записали нерівність Коші й перемножили ці три нерівності почленно, бо всі їхні частини додатні. Праві частини дають $2\cdot2\cdot2=8$ і $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}=\sqrt{abc}=\sqrt{4}=2$, тому $8\cdot2=16$.
Добуток дорівнював би 16 лише тоді, коли рівність є в кожній із трьох нерівностей, тобто коли $a=1$, $b=1$ і $c=1$. Тоді $abc=1$, але за умовою $abc=4$, тому рівності немає й $(a+1)(b+1)(c+1)\gt16$. Твердження доведено.
Як перевірити себе
- У відповіді-оцінці ліве число має бути меншим за праве. Якщо вийшло $4\lt\ldots\lt 3$, то, ймовірно, нерівності почленно відняли чи поділили або забули змінити знаки після множення на −1.
- Для суми додай ліві межі умови й отримай ліву межу відповіді; сума правих меж дає праву межу. Для різниці від найменшого зменшуваного відніми найбільший від’ємник, а від найбільшого зменшуваного відніми найменший від’ємник: так ти знайдеш найменшу й найбільшу різницю. Якщо $4\lt a\lt9$ і $1\lt b\lt2$, межі $a-b$ дорівнюють $4-2=2$ і $9-1=8$.
- Перевір оцінку на будь-яких числах усередині умови: значення має лежати між межами, бо вони охоплюють усі результати. Якщо $4\lt a\lt9$ і $1\lt b\lt2$, візьмемо $a=6$ та $b=1{,}5$. Різниця дорівнює $6-1{,}5=4{,}5$, а 4,5 лежить між межами 2 і 8.
- Перед почленним множенням перевір, що всі частини обох нерівностей додатні. Наприклад, з $-3\lt -2$ і $1\lt 4$ почленне множення дає неправильну нерівність $-3\lt -8$.
Де найчастіше помиляються
1. Віднімали нерівності почленно
Завдання: відомо, що $5\lt a\lt 8$ і $2\lt b\lt 3$; оцінити значення виразу $a-b$.
Неправильно
| 5 | $\lt$ | $a$ | $\lt$ | 8 | |
| − | |||||
| 2 | $\lt$ | $b$ | $\lt$ | 3 | |
| 3 | $\lt$ | $a-b$ | $\lt$ | 5 | |
Правильно
| $2\lt b\lt 3$ $\mid \cdot(-1)$ | |
| $-3\lt -b\lt -2$; |
| 5 | $\lt$ | $a$ | $\lt$ | 8 | |
| + | |||||
| −3 | $\lt$ | $-b$ | $\lt$ | −2 | |
| 2 | $\lt$ | $a-b$ | $\lt$ | 6 | |
Що сталося: Від лівої частини відняли ліву ($5-2=3$), а від правої — праву ($8-3=5$). Але різниця найменша тоді, коли від’ємник найбільший, тому так межі виходять хибними. Правильно записати $a-b$ як $a+(-b)$ і додати нерівності почленно.
Як помітити: Візьмемо $a=5{,}1$ і $b=2{,}9$; вони задовольняють умову. Тоді $a-b=2{,}2$, а 2,2 менше від 3, тобто значення не вміщується в межі неправильної відповіді.
2. Ділили нерівності почленно
Завдання: відомо, що $6\lt a\lt 12$ і $2\lt b\lt 3$; оцінити значення виразу $\frac{a}{b}$.
Неправильно
| 6 | $\lt$ | $a$ | $\lt$ | 12 | |
| : | |||||
| 2 | $\lt$ | $b$ | $\lt$ | 3 | |
| 3 | $\lt$ | $\frac{a}{b}$ | $\lt$ | 4 | |
Правильно
| $2\lt b\lt 3$, тому $\frac{1}{3}\lt\frac{1}{b}\lt\frac{1}{2}$; |
| 6 | $\lt$ | $a$ | $\lt$ | 12 | |
| × | |||||
| $\frac{1}{3}$ | $\lt$ | $\frac{1}{b}$ | $\lt$ | $\frac{1}{2}$ | |
| 2 | $\lt$ | $\frac{a}{b}$ | $\lt$ | 6 | |
Що сталося: Ліву частину поділили на ліву: $6:2=3$, а праву — на праву: $12:3=4$. Частка найменша тоді, коли дільник найбільший, тому так межі виходять хибними. Правильно записати частку як добуток $a\cdot\frac{1}{b}$, оцінити $\frac{1}{b}$ і перемножити почленно: $6\cdot\frac{1}{3}=2$, $12\cdot\frac{1}{2}=6$.
Як помітити: Візьмемо $a=11$ і $b=2{,}2$; вони задовольняють умову. Тоді $\frac{a}{b}=5$, а 5 більше за 4, тобто значення не вміщується в межі неправильної відповіді.
3. Перемножили нерівності з від’ємними частинами
Завдання: чи можна перемножити почленно нерівності $-3\lt -2$ і $1\lt 4$?
Неправильно
| −3 | $\lt$ | −2 | |||
| × | |||||
| 1 | $\lt$ | 4 | |||
| −3 | $\lt$ | −8 | |||
Правильно
| −3 і −2 — від'ємні числа, тому множити почленно не можна; | |
| (−3) · 1 = −3, (−2) · 4 = −8, $-3\gt -8$. |
Що сталося: Нерівності перемножили, хоча частини першої від’ємні. Почленне множення дозволене лише тоді, коли всі чотири частини додатні.
Як помітити: −3 більше за −8, тому нерівність $-3\lt-8$ неправильна. Перед множенням завжди перевіряй знаки всіх частин.
Спробуй сам
- Додай почленно нерівності $5\gt 2$ і $-1\gt -4$.
- Відомо, що $-2\lt a\lt 1$ і $3\lt b\lt 6$. Оціни значення виразу $a+b$.
- Відомо, що $1\lt x\lt 2$ і $0\lt y\lt 1$. Оціни значення виразу $3x-2y$.
- Відомо, що $1{,}5\lt m\lt 2$. Оціни значення виразу $m^2$.
- Відомо, що $1{,}4\lt\sqrt{2}\lt 1{,}5$ і $1{,}7\lt\sqrt{3}\lt 1{,}8$. Оціни значення $\sqrt{6}$, урахувавши, що $\sqrt{6}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$.
- Відомо, що $x\gt 2$ і $y\gt 5$. Чи правильно, що $xy\gt 11$?
- Відомо, що $4\lt a\lt 6$ і $2\lt b\lt 4$. Оціни значення виразу $\frac{a}{b}$.
- Оціни кут $A$ трикутника $ABC$, якщо $40^\circ\lt\angle B\lt 45^\circ$ і $70^\circ\lt\angle C\lt 72^\circ$. Урахуй, що $\angle A=180^\circ-\angle B-\angle C$: оціни $-\angle B$ і $-\angle C$, додай ці нерівності почленно, а потім додай 180° до всіх частин.
- Відомо, що $a\gt 5$ і $b\lt -2$. Доведи, що $3a-b\gt 17$.
- Доведи, що $(a+9)(b+1)\geqslant 12\sqrt{ab}$, якщо $a\gt 0$, $b\gt 0$.
Перевірити відповіді
- $4\gt -2$.
- $1\lt a+b\lt 7$.
- $1\lt 3x-2y\lt 6$.
- $2{,}25\lt m^2\lt 4$.
- $2{,}38\lt\sqrt{6}\lt 2{,}7$.
- Ні, не завжди: якщо $x=2{,}1$, $y=5{,}1$, то $xy=10{,}71$, а $10{,}71\lt 11$.
- $1\lt\frac{a}{b}\lt 3$.
- $63^\circ\lt\angle A\lt 70^\circ$.
- $3a\gt 15$ і $-b\gt 2$, тому $3a-b\gt 17$.
- Доведення — нижче.
Повне розв'язання завдання 3
| 1) | $1\lt x\lt 2$ $\mid \cdot 3$ |
| $3\lt 3x\lt 6$; | |
| 2) | $0\lt y\lt 1$ $\mid \cdot(-2)$ |
| $0\gt -2y\gt -2$; | |
| $-2\lt -2y\lt 0$. |
| 3 | $\lt$ | $3x$ | $\lt$ | 6 | |
| + | |||||
| −2 | $\lt$ | $-2y$ | $\lt$ | 0 | |
| 1 | $\lt$ | $3x-2y$ | $\lt$ | 6 | |
Запишемо $3x-2y$ як суму $3x+(-2y)$. Оцінимо $3x$ множенням нерівності для $x$ на 3, а $-2y$ — множенням для $y$ на −2 зі зміною знаків. Почленне додавання дає межі $3+(-2)=1$ і $6+0=6$.
Повне розв'язання завдання 10
| 1) | $\frac{a+9}{2}\geqslant\sqrt{9a}=3\sqrt{a}$, тому $a+9\geqslant 6\sqrt{a}$; |
| 2) | $b+1\geqslant 2\sqrt{b}$. |
| $a+9$ | $\geqslant$ | $6\sqrt{a}$ | |||
| × | |||||
| $b+1$ | $\geqslant$ | $2\sqrt{b}$ | |||
| $(a+9)(b+1)$ | $\geqslant$ | $12\sqrt{ab}$ | |||
За нерівністю Коші для $a$ і 9 маємо $\frac{a+9}{2}\geqslant\sqrt{9a}=3\sqrt a$, тобто $a+9\geqslant6\sqrt a$. Для $b$ і 1 маємо $b+1\geqslant2\sqrt b$. Усі частини додатні, тому множимо почленно: $6\sqrt a\cdot2\sqrt b=12\sqrt{ab}$. Твердження доведено.
Якщо відповідь не збіглася, переглянь розділ «Де найчастіше помиляються». Можливо, ти відняв або поділив нерівності почленно.
Для батьків
Запитайте дитину, яка ліва межа різниці, якщо перше число більше за 5, але менше від 8, а друге більше за 2, але менше від 3. Попросіть пояснити, чому ця межа дорівнює $5-3=2$: різниця наближається до неї, коли зменшуване наближається до 5, а від’ємник наближається до 3. Так дитина зрозуміє, чому нерівності не можна віднімати почленно.
Попросіть дитину оцінити площу чи периметр кімнати або предмета з приблизно відомими розмірами. Поясніть, що матеріалу беруть за верхньою межею, щоб його точно вистачило.