Повідомити про помилку
* - Обов'язкові поля
Відправити

Властивості числових нерівностей: коли знак змінюється і як оцінити значення виразу — алгебра 9 клас

Ти навчишся користуватися властивостями числових нерівностей, порівнювати вирази й оцінювати їхні значення.

Після множення або ділення на від’ємне число легко забути змінити знак нерівності. Перш ніж переходити до обернених чисел, наприклад від 2 і 5 до $\frac{1}{2}$ і $\frac{1}{5}$, перевір, що числа мають однаковий знак. Обидві пастки розібрано в розділі «Де найчастіше помиляються».

Чотири властивості числових нерівностей

Із правильною числовою нерівністю можна виконувати дії, якщо дотримуватися властивостей. Кожну властивість доводять за означенням з § 1: число $a$ більше за $b$, якщо різниця $a-b$ додатна.

Властивість 1. Якщо $a\gt b$, то $b\lt a$; якщо $a\lt b$, то $b\gt a$.

Якщо поміняти місцями частини правильної нерівності, знак треба змінити на протилежний. Наприклад, $7\gt 3$, тому $3\lt 7$.

Властивість 2. Якщо $a\gt b$ і $b\gt c$, то $a\gt c$; якщо $a\lt b$ і $b\lt c$, то $a\lt c$.

Якщо точка $a$ лежить лівіше від $b$, а $b$ лежить лівіше від $c$, то $a$ лежить лівіше від $c$. Тому з $a\lt b$ і $b\lt c$ випливає $a\lt c$.

Координатна пряма з трьома точками: ліворуч a, посередині b, праворуч c

На кресленні число $b$ стоїть між $a$ і $c$, тому воно спільне для обох нерівностей. Якщо в умові записано $c\gt b$, спершу за першою властивістю перепиши її як $b\lt c$.

Якщо $a\gt b$ і $b\geqslant 1$ (знак $\geqslant$ читають «більше або дорівнює»), то $a\gt 1$: число $a$ більше за $b$, а $b$ не менше від 1. Число 1 додатне, тому $a\gt 0$.

Властивість 3. Якщо $a\gt b$ і $p$ — будь-яке число, то $a+p\gt b+p$.

До обох частин правильної нерівності можна додати одне й те саме число: знак не зміниться. Віднімання числа означає додавання протилежного числа, тому від обох частин теж можна відняти те саме число.

Праворуч від нерівності за вертикальною рискою записують дію з обома частинами. Наприклад, «$\mid \cdot(-2)$» означає множення на −2, а результат записують у наступному рядку.

$3\lt 7$  $\mid +4$
$7\lt 11$.

Якщо $a\gt b+m$, то $a-m\gt b$: від обох частин віднімаємо $m$. Отже, доданок можна перенести в іншу частину, змінивши його знак; наприклад, $10\gt 3+4$ дає $10-4\gt 3$, тобто $6\gt 3$.

$10\gt 3+4$;
$10-4\gt 3$;
$6\gt 3$.

Властивість 4. Якщо $a\gt b$ і $p\gt 0$, то $ap\gt bp$; якщо $a\gt b$ і $p\lt 0$, то $ap\lt bp$.

Якщо помножити або поділити обидві частини правильної нерівності на те саме додатне число, знак не зміниться.

Після множення або ділення обох частин на те саме від’ємне число знак змінюється на протилежний. Ділити на число — це те саме, що множити на обернене число, тому правило для ділення таке саме.

1)$2\lt 5$  $\mid \cdot 3$
$6\lt 15$;
2)$12\gt 8$  $\mid :(-4)$
$-3\lt -2$.

У пункті 1) множимо обидві частини на додатне число 3, тому знак «менше» не змінюється. У пункті 2) ділимо на від’ємне число −4, тому знак «більше» змінюємо на «менше»: −3 лежить лівіше від −2.

Чому знак змінюється: множення на −1 як дзеркало

Помножимо обидві частини нерівності $2\lt 5$ на −1. На координатній прямій кожна точка перейде на інший бік від нуля, на ту саму відстань від нього, як у дзеркалі. Точка 2 перейде в точку −2, а точка 5 перейде в точку −5.

Координатна пряма з точками −5, −2, 0, 2, 5. Сині точки 2 і 5 праворуч від нуля, 2 лівіше за 5. Помаранчеві стрілки ведуть від 2 до −2 і від 5 до −5, тобто дзеркально відносно 0. Тепер −2 праворуч від −5

До множення точка 2 стояла лівіше від точки 5, а після множення точка −2 стоїть правіше від −5. Тому $-2\gt -5$, і знак змінився на протилежний. Будь-який від’ємний множник переносить точки на інший бік від нуля.

Наслідок. Якщо числа $a$ і $b$ мають однаковий знак і $a\gt b$, то $\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}$.

Для чисел одного знака перехід до обернених чисел змінює знак нерівності на протилежний. Наприклад, з $2\lt 5$ випливає $\frac{1}{2}\gt\frac{1}{5}$, а з $-4\lt -2$ випливає $-\frac{1}{4}\gt -\frac{1}{2}$.

Наприклад, $-1\lt 4$. Обернені до них числа дорівнюють $\frac{1}{-1}=-1$ і $\frac{1}{4}$. Знову $-1\lt\frac{1}{4}$, тобто знак не змінився: від’ємне число завжди менше від додатного.

Як порівнювати вирази за нерівністю між змінними

Алгоритм порівняння виразів

  1. Запиши нерівність, наведену в умові, наприклад $m\gt n$. Від неї починай перетворення.
  2. Виконуй ту саму дію з обома частинами, доки не дістанеш вирази з умови. Дотримуйся порядку дій: для $-2m+5$ спочатку помнож на −2, а потім додай 5; для $-(m+1)$ спочатку додай 1, а потім помнож на −1.
  3. Після кожної дії перевір, чи треба змінити знак нерівності. Знак змінюється лише під час множення або ділення на від’ємне число.
  4. Якщо не можеш дістати один вираз дією, порівняй обидва вирази з третім і застосуй другу властивість. Якщо це не допомагає, перевір дві пари чисел, що задовольняють умову: в одній перше число набагато більше за друге, а в іншій — лише трохи. Якщо для пар знаки нерівності різні, порівняти вирази неможливо; однакові знаки для кількох пар відповіді не доводять.

Приклад 1. Відомо, що $m\gt n$. Порівняй $-2m+5$ і $-2n+5$.

Розв'язання.

$m\gt n$  $\mid \cdot(-2)$
$-2m\lt -2n$  $\mid +5$
$-2m+5\lt -2n+5$.
  1. 1)Щоб отримати $-2m$ і $-2n$, помножимо обидві частини нерівності на −2. Це від’ємне число, тому знак «більше» змінюємо на «менше»: $-2m\lt -2n$.
  2. 2)Додамо 5 до обох частин. За третьою властивістю знак не змінюється, тому $-2m+5\lt -2n+5$.

Відповідь: $-2m+5\lt -2n+5$.

Якщо $m\gt n$, то $m+1\gt n+1$ і $\frac{m}{8}\gt\frac{n}{8}$, а $-m\lt -n$. В останньому випадку множимо на −1, тому знак змінюється.

Приклад 2. Відомо, що $x\gt y$. Порівняй $y-3$ і $x$.

Розв'язання.

1)$y-3\lt y$;
2)$x\gt y$, тому $y\lt x$;
3)$y-3\lt y$ і $y\lt x$, тому $y-3\lt x$.
  1. 1)Вираз $y-3$ можна отримати, лише віднявши 3 від частини $y$, а так перетворювати нерівність не можна. Тому порівняємо обидва вирази з $y$. Якщо від числа $y$ відняти 3, дістанемо менше число: $y-3\lt y$.
  2. 2)Перепишемо умову $x\gt y$ як $y\lt x$, помінявши частини місцями за першою властивістю.
  3. 3)Маємо $y-3\lt y$ і $y\lt x$. За другою властивістю $y-3\lt x$.

Відповідь: $y-3\lt x$.

Приклад 3. Відомо, що $x\gt y$. Порівняй $x-2$ і $y+3$, якщо це можливо.

Розв'язання.

1)якщо $x=10$, $y=0$, то $x-2=8$, $y+3=3$, $8\gt 3$;
2)якщо $x=1$, $y=0$, то $x-2=-1$, $y+3=3$, $-1\lt 3$.
  1. 1)Візьмемо пару, у якій $x$ набагато більше за $y$: $x=10$, $y=0$. Тоді $x-2=8$, $y+3=3$, і перший вираз більший.
  2. 2)Тепер візьмемо пару, у якій $x$ лише трохи більше за $y$: $x=1$, $y=0$. Тоді $x-2=-1$, $y+3=3$, і перший вираз менший.
  3. 3)Різниця виразів $(x-2)-(y+3)$ дорівнює $x-y-5$. Вона додатна, коли x більше за y більш ніж на 5, і від’ємна, коли менш ніж на 5. Тому без чисел відповіді немає.

Відповідь: порівняти неможливо.

Властивості подвійних нерівностей

Запис $a\lt b\lt c$ означає, що одночасно виконуються нерівності $a\lt b$ і $b\lt c$. Знаки можуть бути й нестрогими: наприклад, $a\leqslant b\lt c$, де знак $\leqslant$ читають «менше або дорівнює». Подвійна нерівність має ліву, середню і праву частини.

До всіх трьох частин подвійної нерівності можна додати те саме число: знаки не зміняться. Наприклад, з $a\lt b\lt c$ випливає $a+p\lt b+p\lt c+p$.

Якщо помножити або поділити всі три частини на те саме додатне число $p$, знаки не зміняться: $ap\lt bp\lt cp$.

Якщо помножити або поділити всі три частини на те саме від’ємне число $p$, обидва знаки зміняться на протилежні: $ap\gt bp\gt cp$. Щоб читати нерівність зручніше, запиши її від меншого числа: $cp\lt bp\lt ap$.

Якщо всі три частини додатні, перехід до обернених чисел змінює обидва знаки: з $a\lt b\lt c$ маємо $\frac{1}{a}\gt\frac{1}{b}\gt\frac{1}{c}$. Перепишемо нерівність від меншого числа: $\frac{1}{c}\lt\frac{1}{b}\lt\frac{1}{a}$.

Як оцінити значення виразу

Оцінити значення виразу — означає знайти межі, між якими воно лежить для всіх значень змінної, що задовольняють умову. Якщо $2\lt x\lt 5$, оцінка виразу $3x-1$ — це подвійна нерівність із $3x-1$ посередині.

Алгоритм оцінювання значення виразу

  1. Запиши подвійну нерівність з умови.
  2. Будуй вираз з умови крок за кроком, дотримуючись порядку дій. Наприклад, у виразі $3x-1$ спочатку помнож на 3, потім відніми 1; кожну дію виконуй з усіма трьома частинами, інакше нерівність порушиться.
  3. Після множення чи ділення на від’ємне число зміни обидва знаки на протилежні. Потім перепиши нерівність від меншого числа, щоб межі було легше читати.
  4. Якщо змінна стоїть у знаменнику, переходь до обернених чисел лише тоді, коли всі три частини нерівності мають однаковий знак. Якщо ліва частина від’ємна, а права додатна, розглянь окремо від’ємні й додатні значення змінної; спосіб показано після прикладу 6.

Приклад 4. Відомо, що $2\lt x\lt 5$. Оціни значення виразу $3x-1$.

Розв'язання.

$2\lt x\lt 5$  $\mid \cdot 3$
$2\cdot 3\lt 3x\lt 5\cdot 3$  $\mid -1$
$6-1\lt 3x-1\lt 15-1$;
$5\lt 3x-1\lt 14$.
  1. 1)Спершу дістанемо $3x$: помножимо всі три частини на 3. Число 3 додатне, тому знаки не зміняться; $2\cdot 3=6$, а $5\cdot 3=15$.
  2. 2)Віднімемо 1 від усіх трьох частин: $6-1=5$, а $15-1=14$. Знаки нерівності не зміняться.

Відповідь: $5\lt 3x-1\lt 14$.

Приклад 5. Відомо, що $2\lt x\lt 5$. Оціни значення виразу $4-x$.

Розв'язання.

$2\lt x\lt 5$  $\mid \cdot(-1)$
$2\cdot(-1)\gt x\cdot(-1)\gt 5\cdot(-1)$;
$-2\gt -x\gt -5$;
$-5\lt -x\lt -2$  $\mid +4$
$-5+4\lt -x+4\lt -2+4$;
$-1\lt 4-x\lt 2$.
  1. 1)Вираз $4-x$ можна записати як $-x+4$, тому спершу знайдемо межі для $-x$. Помножимо всі частини на −1 і змінимо обидва знаки: $-2\gt -x\gt -5$.
  2. 2)Перепишемо нерівність від меншого числа: $-5\lt -x\lt -2$. Так видно, що ліва межа дорівнює −5, а права межа дорівнює −2.
  3. 3)Додамо 4 до всіх трьох частин: $-5+4=-1$, а $-2+4=2$.

Відповідь: $-1\lt 4-x\lt 2$.

Якщо $2\lt x\lt 5$, після множення всіх частин на −2 дістаємо $-4\gt -2x\gt -10$. Перепишемо від меншого числа: $-10\lt -2x\lt -4$.

Приклад 6. Відомо, що $2\lt x\lt 5$. Оціни значення виразу $\frac{10}{x}$.

Розв'язання.

$2\lt x\lt 5$;
$\frac{1}{2}\gt\frac{1}{x}\gt\frac{1}{5}$;
$\frac{1}{5}\lt\frac{1}{x}\lt\frac{1}{2}$  $\mid \cdot 10$
$\frac{1}{5}\cdot 10\lt\frac{1}{x}\cdot 10\lt\frac{1}{2}\cdot 10$;
$2\lt\frac{10}{x}\lt 5$.
  1. 1)Усі частини нерівності $2\lt x\lt 5$ додатні, тому можна перейти до обернених чисел. Обидва знаки зміняться: $\frac{1}{2}\gt\frac{1}{x}\gt\frac{1}{5}$.
  2. 2)Перепишемо нерівність від меншого числа $\frac{1}{5}$.
  3. 3)Оскільки $\frac{10}{x}=10\cdot\frac{1}{x}$, помножимо всі частини на додатне число 10: знаки не зміняться. Маємо $10\cdot\frac{1}{5}=2$ і $10\cdot\frac{1}{2}=5$.

Відповідь: $2\lt\frac{10}{x}\lt 5$.

Наприклад, оцінимо значення виразу $\frac{12}{x}$, якщо $-3\lt x\lt 3$ і $x\ne 0$. Розглянемо окремо випадки $0\lt x\lt 3$ і $-3\lt x\lt 0$: у кожному з них числа вже одного знака.

1)$0\lt x\lt 3$: $\frac{1}{x}\gt\frac{1}{3}$, $\frac{12}{x}\gt 4$;
2)$-3\lt x\lt 0$: $\frac{1}{x}\lt -\frac{1}{3}$, $\frac{12}{x}\lt -4$.

Якщо $0\lt x\lt 3$, то числа $x$ і 3 додатні, тому $\frac{1}{x}\gt\frac{1}{3}$. Помножимо на додатне число 12 і матимемо $\frac{12}{x}\gt 4$. Якщо $-3\lt x\lt 0$, то числа $x$ і −3 від’ємні, тому $\frac{1}{x}\lt-\frac{1}{3}$. Помножимо на додатне число 12 і матимемо $\frac{12}{x}\lt -4$. Відповідь до такого завдання записують так: $\frac{12}{x}\lt -4$ або $\frac{12}{x}\gt 4$. Значень виразу між −4 і 4 немає.

Приклад 7. Оціни масу однієї пачки паперу за масою шести пачок.

Шість однакових пачок паперу мають загальну масу $m$ кг, причому $14{,}4\lt m\lt 15$. Оціни масу $p$ однієї пачки в кілограмах.

Розв'язання.

$p=\frac{m}{6}$;
$14{,}4\lt m\lt 15$  $\mid :6$
$\frac{14{,}4}{6}\lt\frac{m}{6}\lt\frac{15}{6}$;
$2{,}4\lt\frac{m}{6}\lt 2{,}5$;
$2{,}4\lt p\lt 2{,}5$.
  1. 1)Маса однієї пачки дорівнює загальній масі, поділеній на кількість пачок: $p=\frac{m}{6}$. Запишемо цей зв’язок формулою.
  2. 2)Поділимо всі три частини нерівності $14{,}4\lt m\lt 15$ на додатне число 6, тому знаки не зміняться. Маємо $14{,}4:6=2{,}4$ і $15:6=2{,}5$.
  3. 3)Середня частина $\frac{m}{6}$ показує масу $p$ однієї пачки, тому замінимо її на $p$.

Відповідь: $2{,}4\lt p\lt 2{,}5$ (кг).

Як перевірити себе

  1. Підстав два числа, що задовольняють умову, наприклад $m=3$ і $n=1$, бо $3\gt 1$. Обчисли обидва вирази й порівняй результати: знак має збігтися з твоєю відповіддю, бо властивості нерівностей діють для будь-яких таких чисел. Якщо відповідь — «порівняти неможливо», перевір її двома парами, для яких вийдуть різні знаки.
  2. Підстав у вираз числа з країв умови, 2 і 5: 3 · 2 − 1 = 5 і 3 · 5 − 1 = 14. Це межі відповіді; сам вираз їх не набуває, бо нерівність строга. Потім підстав число між 2 і 5, наприклад 3: 3 · 3 − 1 = 8, і 8 лежить між 5 і 14.
  3. У відповіді-оцінці ліве число має бути меншим за праве. Якщо отримав $2\lt\ldots\lt -1$, ти, ймовірно, не змінив знаки під час множення на від’ємне число.
  4. Перед переходом до обернених чисел перевір знаки всіх частин нерівності. Вони мають бути однаковими, бо правило не працює для чисел різних знаків.

Де найчастіше помиляються

1. Не змінили знак після множення на від’ємне число

Завдання: відомо, що $m\lt n$; порівняти $-3m$ і $-3n$.

Неправильно

$m\lt n$  $\mid \cdot(-3)$
$-3m\lt -3n$.

Правильно

$m\lt n$  $\mid \cdot(-3)$
$-3m\gt -3n$.

Що сталося: Обидві частини помножили на від’ємне число −3, але залишили знак «менше». Після множення на від’ємне число знак треба змінити на протилежний.

Як помітити: Візьми числа, що задовольняють умову, наприклад $m=1$ і $n=2$. Тоді $-3m=-3$, а $-3n=-6$; оскільки $-3\gt -6$, перший вираз більший.

2. Не змінили обидва знаки після множення подвійної нерівності на від’ємне число

Завдання: відомо, що $1\lt x\lt 4$; оцінити значення виразу $-2x$.

Неправильно

$1\lt x\lt 4$  $\mid \cdot(-2)$
$1\cdot(-2)\lt x\cdot(-2)\lt 4\cdot(-2)$;
$-2\lt -2x\lt -8$.

Правильно

$1\lt x\lt 4$  $\mid \cdot(-2)$
$1\cdot(-2)\gt x\cdot(-2)\gt 4\cdot(-2)$;
$-2\gt -2x\gt -8$;
$-8\lt -2x\lt -2$.

Що сталося: Усі три частини помножили на −2, але обидва знаки «менше» залишили. Після множення на від’ємне число обидва знаки треба змінити на протилежні.

Як помітити: У записі $-2\lt -2x\lt -8$ ліве число −2 більше за праве число −8. Число не може водночас бути більшим за −2 і меншим від −8, тому запис неправильний.

3. Перейшли до обернених чисел без перевірки знаків

Завдання: відомо, що $a\lt 4$; чи правильно, що $\frac{1}{a}\gt\frac{1}{4}$?

Неправильно

$a\lt 4$, тому $\frac{1}{a}\gt\frac{1}{4}$;
Відповідь: так.

Правильно

якщо $a=-1$, то $a\lt 4$, але $\frac{1}{a}=-1$, $-1\lt\frac{1}{4}$;
Відповідь: ні, не завжди.

Що сталося: Застосували правило про обернені числа, хоча умова не стверджує, що $a$ додатне. Числа мають бути одного знака, а $a$ може бути від’ємним, наприклад −1.

Як помітити: Перед переходом до обернених чисел запитай себе, чи можуть числа мати різні знаки. Якщо так, перевір твердження на від’ємному числі.

Спробуй сам

  1. Відомо, що $m\gt n$ і $p\lt n$. Порівняй $p$ і $m$.
  2. Відомо, що $a\lt b$. Порівняй $-0{,}5a+3$ і $-0{,}5b+3$.
  3. Порівняй число $a$ з нулем, якщо $7a\gt 7x$ і $x\gt 8$.
  4. Відомо, що $x\gt y$. Порівняй $-x$ і $-y+8$.
  5. Відомо, що $x\gt y$. Порівняй $x-1$ і $y+2$, якщо це можливо.
  6. Порівняй $\frac{1}{x}$ і $\frac{1}{5}$, якщо $x\gt 5$.
  7. Відомо, що $1{,}5\lt x\lt 2$. Оціни значення виразу $4x-3$.
  8. Відомо, що $-1\lt a\lt 3$. Оціни значення виразу $5-2a$.
  9. Відомо, що $4\lt a\lt 8$. Оціни значення виразу $\frac{24}{a}$.
  10. Периметр квадрата дорівнює $P$ см, причому $20\lt P\lt 22$. Оціни довжину $a$ його сторони (у сантиметрах).
  11. Відомо, що $1\lt a\lt 3$. Оціни значення виразу $\frac{12}{9-2a}$.
Перевірити відповіді
  1. $p\lt m$.
  2. $-0{,}5a+3\gt -0{,}5b+3$.
  3. $a\gt 0$.
  4. $-x\lt -y+8$.
  5. Порівняти неможливо.
  6. $\frac{1}{x}\lt\frac{1}{5}$.
  7. $3\lt 4x-3\lt 5$.
  8. $-1\lt 5-2a\lt 7$.
  9. $3\lt\frac{24}{a}\lt 6$.
  10. $5\lt a\lt 5{,}5$.
  11. $1\frac{5}{7}\lt\frac{12}{9-2a}\lt 4$.

Повне розв'язання завдання 8

$-1\lt a\lt 3$  $\mid \cdot(-2)$
$(-1)\cdot(-2)\gt a\cdot(-2)\gt 3\cdot(-2)$;
$2\gt -2a\gt -6$;
$-6\lt -2a\lt 2$  $\mid +5$
$-6+5\lt -2a+5\lt 2+5$;
$-1\lt 5-2a\lt 7$.

Помножимо всі три частини на −2 і змінимо обидва знаки: $(-1)\cdot(-2)=2$, а $3\cdot(-2)=-6$. Перепишемо нерівність від меншого числа −6 і додамо 5: $-6+5=-1$, $2+5=7$.

Повне розв'язання завдання 11

$1\lt a\lt 3$  $\mid \cdot(-2)$
$1\cdot(-2)\gt a\cdot(-2)\gt 3\cdot(-2)$;
$-2\gt -2a\gt -6$;
$-6\lt -2a\lt -2$  $\mid +9$
$-6+9\lt -2a+9\lt -2+9$;
$3\lt 9-2a\lt 7$;
$\frac{1}{7}\lt\frac{1}{9-2a}\lt\frac{1}{3}$  $\mid \cdot 12$
$\frac{1}{7}\cdot 12\lt\frac{12}{9-2a}\lt\frac{1}{3}\cdot 12$;
$\frac{12}{7}\lt\frac{12}{9-2a}\lt 4$;
$1\frac{5}{7}\lt\frac{12}{9-2a}\lt 4$.

Спочатку оцінимо знаменник $9-2a$. Помножимо нерівність на −2 зі зміною знаків, а потім додамо 9: отримаємо $3\lt 9-2a\lt 7$.

Усі частини нерівності $3\lt 9-2a\lt 7$ додатні, тому переходимо до обернених чисел і змінюємо знаки. Перепишемо нерівність від меншого числа $\frac{1}{7}$ та помножимо на 12: $12\cdot\frac{1}{7}=\frac{12}{7}=1\frac{5}{7}$, а $12\cdot\frac{1}{3}=4$.

Якщо відповідь не збіглася, переглянь розділ «Де найчастіше помиляються». Можливо, ти забув змінити знак після множення на від’ємне число.

Для батьків

Попросіть дитину позначити на координатній прямій числа 2 і 5, а потім −2 і −5. Нехай пояснить, чому з $2\lt 5$ випливає $-2\gt -5$: після множення на −1 точки переходять на інший бік від нуля, і порядок змінюється.

У домашніх вправах на оцінювання попросіть дитину підставити у вираз будь-яке число між межами з умови, наприклад для $2\lt x\lt 5$ — число 3. Нехай дитина перевірить, чи лежить отримане значення між знайденими межами: так вона зможе помітити помилку зі знаками.

Повідомити про помилку