Ти навчишся читати й записувати координати точки, визначати чверть за знаками координат. Ти також навчишся знаходити відстані до осей і невідомі вершини прямокутника чи квадрата.
У задачах цього параграфа найчастіше плутають порядок координат і вісь, до якої шукають відстань. Уже розв’язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».
Як задають координатну площину
Ти вже бачив координатну площину в 6 класі й будував на ній графіки. Її задають дві взаємно перпендикулярні прямі, позначені буквами x і y, які перетинаються в точці O. Пряму x зазвичай проводять горизонтально, а пряму y — вертикально.
Точка O ділить кожну вісь на додатну й від’ємну півосі. Додатну піввісь позначають стрілкою: на осі x вона зазвичай іде праворуч, а на осі y — угору. Число 0 на обох осях відповідає точці O. На кожній осі вибирають одиничний відрізок і так задають прямокутну систему координат.
Прямі x і y називають осями координат, а точку O — початком координат. Вісь x називають віссю абсцис, а вісь y — віссю ординат. Площину, на якій задано прямокутну систему координат, називають координатною площиною.
Координати точки
Через точку A проведемо пряму, паралельну осі y, і позначимо її перетин з віссю x точкою A₁. Через A проведемо пряму, паралельну осі x, і позначимо її перетин з віссю y точкою A₂. Точка A₁ розташована на 3 одиниці ліворуч від O, а A₂ — на 2 одиниці вище від O.
Відстань OA₁ дорівнює 3, а A₁ лежить на від’ємній півосі x, тому абсциса A дорівнює −3. Відстань OA₂ дорівнює 2, а A₂ лежить на додатній півосі y, тому ордината A дорівнює 2; отже, A(−3; 2).
Число x називають абсцисою точки A, якщо модуль x дорівнює OA₁. Абсциса додатна, якщо A₁ лежить на додатній півосі x, і від’ємна, якщо A₁ лежить на від’ємній півосі x. Число y називають ординатою точки A, якщо модуль y дорівнює OA₂; ордината додатна, якщо A₂ лежить на додатній півосі y, і від’ємна, якщо A₂ лежить на від’ємній півосі y.
Координати точки записують у дужках після її назви, розділяючи крапкою з комою: A(x; y). Першою завжди записують абсцису, а другою — ординату; їх позначають $x_A$ і $y_A$. Наприклад, для A(−3; 2) маємо $x_A=-3$ і $y_A=2$.
Точка, що лежить на осі y, не відходить від неї ні праворуч, ні ліворуч, тому її абсциса дорівнює 0. Точка на осі x не відходить від неї ні вгору, ні вниз, тому її ордината дорівнює 0. Початок координат має координати O(0; 0).
На осі x точки (5; 0) і (−5; 0) віддалені від O на 5 одиниць: одна лежить праворуч, а друга — ліворуч. На осі y так само розташовані точки (0; 5) і (0; −5). Тому якщо в задачі сказано лише, що точка лежить на осі x на відстані 5 від початку координат, відповідей дві.
Координати називають декартовими на честь французького математика Рене Декарта (1596–1650), який запровадив їх у математиці.
Приклад 1. Знайди координати точок A, B, C і D на кресленні.
Розв'язання.
- 1)Точка A лежить на 4 клітинки ліворуч від осі y, тому її абсциса дорівнює −4. Від осі x точка A розташована на одну клітинку вище, отже, A(−4; 1).
- 2)Точка B лежить на 2 клітинки праворуч від осі y і на 3 клітинки вище від осі x, тому B(2; 3). Точка D лежить на 3 клітинки праворуч від осі y і на 3 клітинки нижче від осі x, тому D(3; −3).
- 3)Точка C лежить на осі y, тому її абсциса дорівнює 0. Точка C розташована на 2 клітинки нижче від O, тому її ордината дорівнює −2 і C(0; −2).
Відповідь: A(−4; 1), B(2; 3), C(0; −2), D(3; −3).
Щоб позначити точку E(−2; 4), спочатку від O пройди по осі x на 2 одиниці ліворуч, бо абсциса дорівнює −2. Потім пройди 4 одиниці вгору паралельно осі y і познач E. Абсцису відкладають першою, бо вона записана першою.
Координатні чверті
Осі координат ділять площину на чотири частини. Кожну частину називають координатною чвертю, або координатним кутом. У кожній чверті знаки координат точок незмінні.
Координатні чверті позначають римськими цифрами I, II, III, IV. У дужках під номером чверті вказано знаки абсциси й ординати точок у ній.
| Чверть | Абсциса x | Ордината y | Де лежить |
|---|---|---|---|
| I | $x\gt0$ | $y\gt0$ | праворуч від осі y, вище від осі x |
| II | $x\lt0$ | $y\gt0$ | ліворуч від осі y, вище від осі x |
| III | $x\lt0$ | $y\lt0$ | ліворуч від осі y, нижче від осі x |
| IV | $x\gt0$ | $y\lt0$ | праворуч від осі y, нижче від осі x |
Як запам’ятати номери чвертей і знаки координат
- У першій чверті обидві координати додатні: точки лежать праворуч від осі y і вище від осі x.
- Далі чверті нумерують проти годинникової стрілки: II лежить ліворуч угорі, III — ліворуч унизу, IV — праворуч унизу.
- Переходячи через вісь y, точка змінює знак абсциси, а через вісь x — знак ординати. Тому в сусідніх чвертях змінюється знак лише однієї координати.
Точки на осях координат не належать жодній чверті. Одна їхня координата дорівнює нулю, а нуль не є ні додатним, ні від’ємним числом.
Приклад 2. Не виконуючи побудови, визнач, у якій координатній чверті лежить кожна точка: M(−3; −7), N(5; −2), K(−1; 4).
Розв'язання.
- 1)Обидві координати точки M(−3; −7) від’ємні, тому M лежить у III чверті.
- 2)Абсциса точки N(5; −2) додатна, а ордината від’ємна, тому N лежить у IV чверті.
- 3)Абсциса точки K(−1; 4) від’ємна, а ордината додатна, тому K лежить у II чверті.
Відповідь: M — у III чверті, N — у IV чверті, K — у II чверті.
Як знайти відстань від точки до осей координат
Приклад 3. Знайди відстані від точки A(−4; 3) до осей координат.
Розв'язання.
- 1)Відстань від точки до прямої вимірюють довжиною перпендикуляра. Перпендикуляр до осі x вертикальний, тому його основа A₁ лежить рівно під точкою A й має ту саму абсцису −4. Ордината точки на осі x дорівнює 0, тому A₁(−4; 0).
- 2)Відрізок AA₁ проходить від ординати 3 до ординати 0, тому його довжина дорівнює 3. Отже, відстань від A до осі x дорівнює 3 — модулю ординати точки A.
- 3)Перпендикуляр AA₂ до осі y паралельний осі x, тому A₂(0; 3). Довжина AA₂ дорівнює 4 — модулю абсциси −4, адже відстань не буває від’ємною.
Відповідь: до осі x — 3, до осі y — 4.
Відстань від точки M(x; y) до осі x дорівнює $|y|$, а до осі y — $|x|$. До осі x відстань вимірюють вертикально, уздовж осі y, тому її визначає ордината.
Точки на прямих, паралельних осям
Усі точки прямої, паралельної осі x, мають однакову ординату, бо лежать на однаковій висоті. Наприклад, якщо одна така точка має ординату −3, то й інша має ординату −3. На прямій, паралельній осі y, усі точки мають однакову абсцису.
Приклад 4. Сторони прямокутника PQRS паралельні осям координат, а сторона PQ паралельна осі x. Якщо P(−4; 3), R(2; −1), знайди координати вершин Q і S.
Розв'язання.
- 1)Оскільки PQ паралельна осі x, ординати точок P і Q однакові: $y_Q=y_P=3$. Сторона QR паралельна осі y, тому абсциси Q і R однакові: $x_Q=x_R=2$. Отже, Q(2; 3).
- 2)Міркуємо так само для вершини S: сторона SR паралельна осі x, тому $y_S=y_R=-1$. Сторона PS паралельна осі y, тому $x_S=x_P=-4$ і S(−4; −1).
Відповідь: Q(2; 3), S(−4; −1).
Так само можна знайти вершину прямого кута C прямокутного трикутника ABC, якщо його катети паралельні осям. Вершина C має одну координату точки A, а другу — точки B. Якщо невідомо, які вершини лежать на одній горизонталі, можливі два трикутники.
Приклад 5. Квадрат зі стороною 2 має вершину A(4; 3), а його сторони паралельні осям координат. Знайди координати трьох інших вершин для всіх можливих положень квадрата.
Розв'язання.
- 1)Для сусідньої вершини на горизонтальній стороні ордината дорівнює 3, а абсциса дорівнює:
4 + 2 = 6 або 4 − 2 = 2. Для сусідньої вершини на вертикальній стороні абсциса дорівнює 4, а ордината дорівнює:
3 + 2 = 5 або 3 − 2 = 1. - 2)Четверта вершина має абсцису сусіда на горизонтальній стороні й ординату сусіда на вертикальній. Квадрат може лежати праворуч або ліворуч від A та вище або нижче від A, тому можливі 2 · 2 = 4 положення, позначені на кресленні цифрами 1–4.
| Випадок | Де квадрат | Інші три вершини |
|---|---|---|
| 1 | праворуч і вище від A | (6; 3), (6; 5), (4; 5) |
| 2 | ліворуч і вище від A | (2; 3), (2; 5), (4; 5) |
| 3 | ліворуч і нижче від A | (2; 3), (2; 1), (4; 1) |
| 4 | праворуч і нижче від A | (6; 3), (6; 1), (4; 1) |
Відповідь: чотири випадки, вершини в таблиці вище.
Точки на бісектрисах координатних кутів
Кожна точка бісектриси кута однаково віддалена від його сторін. Сторони координатного кута лежать на осях, тому відстані до осей рівні: $|x|=|y|$.
Приклад 6. Точка M лежить на бісектрисі другого координатного кута, а її абсциса дорівнює −5. Знайди ординату точки M.
Розв'язання.
- 1)Точка M лежить на бісектрисі, тому відстані до осей рівні: $|y|=|x|=|-5|=5$. Отже, ордината M дорівнює 5 або −5.
- 2)У другій чверті ордината додатна, тому $y=5$ і M(−5; 5).
Відповідь: 5.
У першій чверті абсциса й ордината додатні та рівні, тому на бісектрисі першого кута $x=y$. У другій чверті координати мають різні знаки, тому на бісектрисі другого кута $y=-x$. Бісектриса третього кута лежить на тій самій прямій $x=y$, що й бісектриса першого: у третій чверті обидві координати від’ємні й рівні. Бісектриса четвертого кута лежить на прямій $y=-x$, як і бісектриса другого.
Множина точок із заданим модулем координати
Приклад 7. Знайди геометричне місце точок (x; y) координатної площини, для яких $|y|=3$.
Розв'язання.
- 1)Геометричне місце точок — це фігура, яку утворюють усі точки з указаною властивістю. Рівність $|y|=3$ означає, що $y=3$ або $y=-3$. Абсциса x може бути будь-яким числом, бо умова її не обмежує.
- 2)Точки з ординатою 3 лежать на прямій, паралельній осі x і проведеній через (0; 3). Точки з ординатою −3 лежать на такій самій прямій через (0; −3).
Відповідь: дві прямі, паралельні осі x, що проходять через точки (0; 3) і (0; −3).
Для умови на абсцису, наприклад $|x|=2$, точки мають абсциси 2 або −2. Вони лежать на двох прямих, паралельних осі y, через точки (2; 0) і (−2; 0); кожна пряма віддалена від осі y на 2.
Як перевірити себе
- Познач точку на папері в клітинку й перевір, у якій чверті вона лежить. Знаки координат мають збігатися з таблицею, бо вони визначають чверть; інакше ти переставив координати або пропустив мінус.
- Пройди від O стільки клітинок, скільки кажуть координати, і перевір, чи потрапив саме в точку, яку позначено на кресленні. Якщо ні, координати переставлено.
- Відстань від точки до осі є довжиною відрізка й не буває від’ємною. Якщо отримав від’ємне число, для відстані до осі x візьми модуль ординати, а для відстані до осі y — модуль абсциси.
- У прямокутнику чи квадраті зі сторонами, паралельними осям, кожна вершина має спільну абсцису з одним сусідом і спільну ординату з іншим. Якщо знайдена вершина не має цих спільних координат, її координати неправильні.
Де найчастіше помиляються
1. Переставили координати місцями
Завдання: записати координати точки A, яка лежить на 2 одиниці ліворуч від осі y і на 4 одиниці вище від осі x.
Неправильно
| A(4; −2) |
Правильно
| A(−2; 4) |
Що сталося: На першому місці завжди стоїть абсциса, але тут першою записали ординату. Через це й знак мінус опинився біля іншої координати.
Як помітити: Точка A(4; −2) лежить праворуч і нижче від початку координат, тобто в IV чверті. За умовою точка має лежати ліворуч і вище, у II чверті, отже, координати переставлено.
2. Переплутали координату для відстані до осі
Завдання: знайти відстань від точки B(5; −2) до осі x.
Неправильно
| Відстань дорівнює 5. |
Правильно
| $|y_B|=|-2|=2$. |
Що сталося: Відстань до осі x вимірюють вертикально, тому її визначає ордината −2, а не абсциса 5. Число 5 задає відстань до осі y.
Як помітити: Перпендикуляр від точки до осі x вертикальний, тому його довжину визначає ордината. Відстань невід’ємна, отже, для ординати −2 беремо модуль 2.
3. Точку на осі віднесли до чверті
Завдання: визначити, де лежить точка N(0; −3).
Неправильно
| N лежить у IV чверті. |
Правильно
| N лежить на осі y. |
Що сталося: Через від’ємну ординату −3 можна помилково вирішити, що точка лежить у IV чверті. Але абсциса 0 означає, що точка лежить на осі y, межі між чвертями.
Як помітити: Перш ніж визначати чверть, перевір, чи одна з координат не дорівнює нулю. Якщо абсциса нульова, точка лежить на осі y; якщо ордината нульова — на осі x.
Спробуй сам
- Познач на координатній площині точки E(−3; 2), F(0; −4), G(4; 1) і запиши, у якій чверті або на якій осі лежить кожна точка.
- Які з точок A(0; 7), B(−3; 0), C(2; −2), D(0; 0) лежать на осі абсцис, а які — на осі ординат?
- Добуток координат точки додатний: $xy\gt0$, а їхня сума менша від нуля: $x+y\lt0$. У якій координатній чверті лежить точка?
- Знайди відстані від точки K(−7; −2) до осей координат.
- З точки N(3; −6) проведено перпендикуляри до осей координат. Знайди координати основ цих перпендикулярів.
- Катети прямокутного трикутника ABC паралельні осям координат, а $\angle C=90°$. Якщо A(−1; 4), B(5; 1), знайди координати вершини C.
- Діагоналі ромба лежать на осях координат і перетинаються в початку координат. Одна діагональ дорівнює 10 одиницям, а друга — 6 одиницям; знайди координати вершин і визнач кількість розв’язків.
- Точка лежить на бісектрисі третього координатного кута, а її ордината дорівнює −2,5. Знайди абсцису точки.
- Знайди геометричне місце точок (x; y) координатної площини, для яких $|x|=4$.
- Центр кола радіуса 4 збігається з початком координат. Знайди координати точок перетину кола з осями координат.
Перевірити відповіді
- E — у II чверті, F — на осі y, G — у I чверті.
- На осі абсцис — B і D, на осі ординат — A і D (D — початок координат); C — ні на тій, ні на іншій.
- У III чверті; повний розв'язок — нижче.
- До осі x — 2, до осі y — 7.
- (3; 0) і (0; −6).
- C(−1; 1) або C(5; 4); повний розв'язок — нижче.
- (5; 0), (−5; 0), (0; 3), (0; −3) або (3; 0), (−3; 0), (0; 5), (0; −5): два розв'язки; повний розв'язок — нижче.
- −2,5.
- Дві прямі, паралельні осі y, що проходять через точки (4; 0) і (−4; 0).
- (4; 0), (−4; 0), (0; 4), (0; −4).
Повний розв'язок завдання 3
Добуток координат додатний, коли вони мають однакові знаки, отже, координати x і y або обидві додатні, або обидві від’ємні. Сума двох додатних координат додатна, а за умовою сума від’ємна, тому обидві координати від’ємні. Точка з двома від’ємними координатами лежить у III чверті.
Відповідь: у III чверті.
Повний розв'язок завдання 6
Катет AC паралельний одній осі, а BC — другій. Якщо AC паралельний осі y, то $x_C=x_A=-1$ і $y_C=y_B=1$, тому C₁(−1; 1). Якщо AC паралельний осі x, то $y_C=y_A=4$ і $x_C=x_B=5$, тому C₂(5; 4); креслення показує обидва трикутники.
Відповідь: C(−1; 1) або C(5; 4).
Повний розв'язок завдання 7
Діагоналі ромба діляться навпіл, тому від O до вершини відкладаємо половину відповідної діагоналі:
10 : 2 = 5 і 6 : 2 = 3. Якщо діагональ 10 лежить на осі x, вершини мають координати (5; 0), (−5; 0), (0; 3), (0; −3); якщо на осі x лежить діагональ 6, координати вершин (3; 0), (−3; 0), (0; 5), (0; −5). Отже, задача має два розв’язки.
Відповідь: (5; 0), (−5; 0), (0; 3), (0; −3) або (3; 0), (−3; 0), (0; 5), (0; −5); два розв'язки.
Якщо твоя відповідь не збіглася, переглянь розділ «Де найчастіше помиляються». Найчастіше плутають порядок координат або беруть не ту координату для відстані до осі.
Для батьків
Попросіть дитину назвати координати точки на папері в клітинку й пояснити кожне число. Якщо дитина спершу називає рух праворуч чи ліворуч, а потім угору чи вниз, вона розуміє порядок координат.
У задачах про відстань до осі запитайте дитину, уздовж якої осі вимірюють цю відстань. Відстань до осі x визначає ордината, а до осі y — абсциса, бо перпендикуляр до кожної осі йде вздовж іншої.