Координати середини відрізка і відстань між точками: метод координат — геометрія 9 клас

Ти навчишся знаходити координати середини відрізка і відстань між двома точками за їхніми координатами. Потім цими двома формулами ти доводитимеш, що трикутник прямокутний чи чотирикутник є паралелограмом, і шукатимеш невідомі точки.

У задачах цього параграфа найчастіше губляться мінуси від’ємних координат і друга відповідь рівняння з квадратом. Уже розв’язав вправи й шукаєш свою помилку? Почни з розділу «Де найчастіше помиляються».

Що таке метод координат

Кожній точці координатної площини відповідає одна пара чисел (x; y), а кожній парі чисел — одна точка. Тому середину відрізка, довжину сторони чи вид фігури можна знайти обчисленням, без лінійки. Такий спосіб розв’язувати задачі називають методом координат.

У цьому параграфі є дві головні формули: координати середини відрізка і відстань між двома точками. Усі задачі параграфа розв’язують за їхньою допомогою.

Координати середини відрізка

Розглянемо відрізок AB з кінцями A(1; 5) і B(7; 1) та його середину M. Проведемо через A, M і B прямі, паралельні осі y.

Ці прямі перетнуть вісь x у точках A₁(1; 0), M₁ і B₁(7; 0). За теоремою Фалеса M₁ — середина відрізка A₁B₁, тому її абсциса дорівнює (1 + 7) : 2 = 4.

Паралельні прямі ділять вісь x так само, як точка M ділить відрізок AB. Тому A₁M₁ = M₁B₁, звідси M₁(4; 0), і абсциса точки M теж дорівнює 4.

Так само абсциса середини будь-якого відрізка дорівнює півсумі абсцис його кінців. Для ординат міркують так само, тільки прямі проводять паралельно осі x; формула правильна й тоді, коли відрізок паралельний осі y.

Буває й навпаки: відомі середина відрізка та один його кінець, а шукати треба другий кінець. Тоді у формулу середини підставляють відомі числа й розв’язують рівняння.

Буває, що кінці відрізка лежать на осях координат. Тоді в кінця на осі x ордината дорівнює 0, а в кінця на осі y абсциса дорівнює 0. Наприклад, у такого відрізка із серединою N(−2; 5) кінці A(−4; 0) і B(0; 10), бо половини чисел −4 і 10 дорівнюють −2 і 5.

Відстань між двома точками

Візьмемо точки A(1; 5) і B(7; 1). Через A проведемо пряму, паралельну осі y, а через B — паралельну осі x.

Ці прямі перетнуться в точці C(1; 1), і трикутник ABC буде прямокутним із прямим кутом C. Катет BC дорівнює 7 − 1 = 6, а катет AC дорівнює 5 − 1 = 4.

Катети BC = 6 і AC = 4 — це різниці координат точок A і B, а відрізок AB є гіпотенузою.

За теоремою Піфагора AB² = BC² + AC² = 6² + 4² = 52, тобто $AB=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}$. Так само для будь-яких двох точок квадрат відстані дорівнює сумі квадратів різниць абсцис і ординат. Формула правильна й тоді, коли відрізок паралельний осі або точки збігаються: тоді один із катетів дорівнює 0.

Відстань від початку координат O(0; 0) до точки (x; y) дорівнює $\sqrt{x^2+y^2}$. Щоб з’ясувати, яка з двох відстаней більша, досить порівняти їхні квадрати: більша відстань має більший квадрат, тому корені добувати не треба. Периметр трикутника дорівнює сумі трьох відстаней між його вершинами.

Як за координатами вершин визначити вид трикутника

Якщо катети вийшли з коренями, тангенс зручно рахувати одним коренем:
$\sqrt{20}:\sqrt{5}=\sqrt{20:5}=\sqrt{4}=2$.

Інші задачі на вид трикутника розв’язують так само: спершу знаходять усі три сторони. Якщо дві сторони рівні, трикутник рівнобедрений, а якщо рівні всі три — рівносторонній.

Медіану, середню лінію і діагональ квадрата шукають тими самими двома формулами. Для медіани спершу знаходять середину сторони, а потім відстань від неї до протилежної вершини. Середня лінія дорівнює половині сторони, якій вона паралельна, а діагональ квадрата зі стороною a дорівнює $a\sqrt2$, бо за теоремою Піфагора її квадрат дорівнює $a^2+a^2=2a^2$.

Як за координатами довести, що чотирикутник — паралелограм

З 8 класу відома ознака: якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то це паралелограм. За координатами її перевіряють так: знаходять середини обох діагоналей. Якщо середини збігаються, то діагоналі діляться навпіл.

Якщо середини діагоналей різні, то чотирикутник не є паралелограмом. Щоб довести, що паралелограм є прямокутником, додатково перевіряють, що його діагоналі рівні. Щоб довести, що чотирикутник є ромбом, досить показати, що всі чотири його сторони рівні.

Як знайти четверту вершину паралелограма

Можна обійтися без дробових координат середини. Кожна координата D дорівнює сумі координат сусідніх із нею вершин A і C мінус координата протилежної вершини B:
$x_D=-2+5-0=3$, $y_D=-1+2-3=-2$.
Це видно, якщо в рівність $x_D=2\cdot x_O-x_B$ підставити $x_O=\frac{x_A+x_C}{2}$.

А якщо порядок вершин не сказано, скільки буде паралелограмів?

У задачі вище сказано «паралелограм ABCD», тому вершина B стоїть навпроти D. Якщо ж відомо лише, що A, B і C — вершини паралелограма, то навпроти четвертої вершини може стояти будь-яка з них. Тому відповідей три, і кожну дає та сама формула: сума координат двох сусідніх вершин мінус координата протилежної.

	$D_1$ навпроти B: $x=-2+5-0=3$, $y=-1+2-3=-2$;
	$D_2$ навпроти A: $x=0+5-(-2)=7$,
	$y=3+2-(-1)=6$;
	$D_3$ навпроти C: $x=-2+0-5=-7$,
	$y=-1+3-2=0$.

На трьох точках A, B і C можна добудувати три паралелограми: ABCD₁, ABD₂C і AD₃BC. Кожна з точок D₁, D₂ і D₃ стоїть навпроти однієї з даних вершин.

Як знайти невідому координату точки

Якщо відома відстань, а одна з координат невідома, формулу відстані записують із невідомою й отримують рівняння. Щоб позбутися кореня, зручніше працювати з квадратом відстані.

Ще одна задача з невідомою — знайти на осі координат точку, однаково віддалену від двох даних точок. У точки на осі y абсциса дорівнює 0, тому її записують як C(0; y). Рівні відстані мають рівні квадрати, тож прирівнюють квадрати відстаней.

Інакше розв’язують задачу про рівносторонній трикутник, у якого дві вершини відомі, а третя має невідому координату. Спершу знаходять квадрат сторони між відомими вершинами. Потім квадрат сторони з невідомою вершиною прирівнюють до цього числа: тут квадрат невідомої не скорочується, виходить квадратне рівняння, і відповідей може бути дві.

Як знайти точку, що ділить відрізок у відношенні 1 : 3

Точка N ділить відрізок AB у відношенні 1 : 3, починаючи від A, якщо AN — 1 частина, а NB — 3 такі самі частини. Тоді AB складається з 4 частин. Середина M відрізка AB відтинає від A дві частини, а середина відрізка AM — одну, тому N є серединою AM.

Якщо відношення 3 : 1, починаючи від точки A, то шукана точка ближча до B. Тоді це середина відрізка MB, де M — середина відрізка AB.

Як довести, що три точки лежать на одній прямій

Якщо точка B лежить на відрізку AC, то AB + BC = AC. Якщо ж точки не лежать на одній прямій, вони є вершинами трикутника, де сума двох сторін більша за третю. Тому знаходять три відстані й перевіряють, чи дорівнює найбільша сумі двох інших.

Між двома іншими лежить та точка, яка не є кінцем найбільшої відстані. Якщо відстані вийшли з коренями, наприклад $\sqrt{12}$, $\sqrt{27}$ і $\sqrt{75}$, спершу винеси множник з-під кореня. Вийде $2\sqrt{3}$, $3\sqrt{3}$ і $5\sqrt{3}$, і суму видно одразу:
$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$.

Як перевірити себе

1. Середина лежить між кінцями відрізка, тому кожна її координата лежить між відповідними координатами кінців. Наприклад, якщо абсциси кінців 2 і 8, а в середини вийшло 10, то десь помилка.
2. Знайшовши невідомий кінець відрізка, знайди середину між ним і відомим кінцем. Має вийти та середина, що дана в умові: тоді кінець знайдено правильно.
3. Під коренем у формулі відстані стоїть сума квадратів, а квадрат будь-якого числа не буває від’ємним. Якщо під коренем вийшло від’ємне число, то квадрат від’ємної різниці помилково записали з мінусом, наприклад (−8)² як −64.
4. Прикинь відповідь за клітинками: порахуй, на скільки клітинок точки розходяться по горизонталі й по вертикалі. Відстань не менша за більше з цих чисел і не більша за їхню суму, бо вона є гіпотенузою з такими катетами. Наприклад, для 8 і 6 клітинок відстань лежить між 8 і 14, і 10 підходить.
5. У задачі з невідомою координатою підстав кожну знайдену відповідь у формулу відстані. Обидві відповіді мають дати задану відстань, бо рівняння з квадратом зазвичай має два корені.

Де найчастіше помиляються

1. У формулі середини координати кінців відняли, а треба додати

Завдання: знайти середину відрізка AB, якщо A(−4; 6), B(2; −2).

Що сталося: Формулу середини сплутали з формулою відстані, де координати віднімають. У формулі середини координати кінців додають.

Як помітити: Середина однаково віддалена від обох кінців. У неправильній відповіді ордината 4 відстоїть від 6 на 2, а від −2 — на 6, тому це не середина.

2. Під час віднімання від’ємної координати загубили мінус

Завдання: знайти відстань між точками A(−3; 2) і B(1; −1).

Що сталося: Ординату точки B, −1, підставили без мінуса. Правильна різниця ординат 2 − (−1) = 2 + 1 = 3, а 2 − 1 = 1 — хибна.

Як помітити: Під час підстановки завжди бери від’ємну координату в дужки. Ще прикинь за клітинками: точки A і B лежать по різні боки від осі x. Тому різниця ординат дорівнює сумі їхніх відстаней до осі, 2 + 1 = 3.

3. Шуканий кінець відрізка знайшли як середину між відомим кінцем і серединою

Завдання: M(−1; 3) — середина відрізка AB, A(2; −4); знайти координати точки B.

Що сталося: У формулу середини підставили середину M замість кінця. Так знайшли точку між A і M, хоча шукали другий кінець відрізка. Дана середина має стояти ліворуч від знака «=», а невідомий кінець — у чисельнику дробу.

Як помітити: Кінець відрізка лежить по інший бік від середини, далі від A, ніж сама середина. Неправильна точка (0,5; −0,5) лежить посередині між A і M, тобто ближче до A, ніж M, тому кінцем вона бути не може.

4. У рівнянні з квадратом записали лише одну відповідь

Завдання: відстань між точками P(1; 3) і Q(x; −1) дорівнює 5; знайти x.

Що сталося: Квадрат дорівнює 9 у двох чисел, 3 і −3, а взяли лише 3. Тому загубили другу точку Q(4; −1), яка теж лежить на відстані 5 від P.

Як помітити: Якщо в рівнянні вираз у квадраті дорівнює додатному числу, відповідей зазвичай дві. Підстав обидві відповіді в умову й перевір.

Спробуй сам

1. Знайди координати середини відрізка CD, якщо C(4; −3), D(−6; 7).
2. Точка D(−1; 1) — середина відрізка AB, B(2; −5). Знайди координати точки A.
3. Знайди відстань від початку координат до точки P(−8; 15).
4. Знайди периметр трикутника ABC, якщо A(1; 1), B(4; 5), C(4; 1).
5. Доведи, що трикутник з вершинами A(−1; 0), B(3; 3), C(2; −4) рівнобедрений.
6. Доведи, що трикутник з вершинами A(2; 2), B(−3; 7), C(0; 1) прямокутний, і знайди його гострі кути з точністю до мінути.
7. Чи є чотирикутник ABCD паралелограмом, якщо A(1; 1), B(2; 4), C(6; 5), D(5; 1)?
8. Доведи, що чотирикутник ABCD з вершинами A(1; 0), B(4; 4), C(9; 4), D(6; 0) — ромб.
9. Точки K(−1; 2), L(3; 6), M(5; 1) — вершини паралелограма KLMN. Знайди координати вершини N.
10. Кінці відрізка AB лежать на осях координат, а його серединою є точка N(4; −3). Знайди довжину відрізка AB.
11. Відстань між точками M(3; 0) і N(x; 8) дорівнює 10. Знайди x.
12. Знайди на осі абсцис точку, рівновіддалену від точок A(−1; 4) і B(5; 2).
13. Дано точки P(−2; 5) і Q(6; −3). Знайди координати точки, яка ділить відрізок PQ у відношенні 3 : 1, починаючи від точки P.
14. Доведи, що точки A(−1; −2), B(1; 0) і C(4; 3) лежать на одній прямій. Яка з них лежить між двома іншими?

Перевірити відповіді

1. (−1; 2).
2. A(−4; 7).
3. 17.
4. 12.
5. AB = AC = 5.
6. ∠C = 90°, бо AC² + BC² = 5 + 45 = 50 = AB²; ∠A ≈ 71°34′, ∠B ≈ 18°26′.
7. Ні: середина AC — (3,5; 3), а середина BD — (3,5; 2,5).
8. Повне доведення — нижче.
9. N(1; −3).
10. 10; повний розв'язок — нижче.
11. x = −3 або x = 9.
12. (1; 0).
13. (4; −1).
14. Так: $AB=2\sqrt{2}$, $BC=3\sqrt{2}$, $AC=5\sqrt{2}$; точка B лежить між A і C.

Повне доведення завдання 8

	$AB=\sqrt{(1-4)^2+(0-4)^2}=$
	$=\sqrt{9+16}=5$;
	$BC=\sqrt{(4-9)^2+(4-4)^2}=$
	$=\sqrt{25}=5$;
	$CD=\sqrt{(9-6)^2+(4-0)^2}=$
	$=\sqrt{9+16}=5$;
	$DA=\sqrt{(6-1)^2+(0-0)^2}=$
	$=\sqrt{25}=5$.

Усі чотири сторони чотирикутника ABCD дорівнюють 5. Чотирикутник, у якого всі сторони рівні, є ромбом, що й треба було довести.

Повний розв'язок завдання 10

1)	$A(x;\,0)$, $B(0;\,y)$;
	$4=\frac{x+0}{2}$, $x=8$; $-3=\frac{0+y}{2}$, $y=-6$;
2)	$AB=\sqrt{(8-0)^2+(0-(-6))^2}=$
	$=\sqrt{64+36}=10$.

Кінець A лежить на осі x, тому його ордината дорівнює 0, а кінець B лежить на осі y, тому його абсциса дорівнює 0. З формули середини x = 8 і y = −6, тобто A(8; 0) і B(0; −6). Довжина AB дорівнює 10.

Якщо відповідь не збіглася, переглянь розділ «Де найчастіше помиляються». Можливо, загубився мінус від’ємної координати або друга відповідь рівняння з квадратом.

Для батьків