Лінійні нерівності з однією змінною: розв'язування, рівносильні нерівності та запис відповіді проміжком — алгебра 9 клас

Приклад 1. Розв'яжи лінійну нерівність

Розв'яжемо сім нерівностей. Кожна записана на початку свого рядка.

Розв'язання.

1. 1)У пункті 1 ділимо на 4. Число додатне, знак $\geqslant$ лишається.
2. 2)У пункті 2 ділимо на −5. Число від'ємне, тому $\gt$ стає $\lt$. Праворуч 35 : (−5) = −7.
3. 3)У пункті 3 перед $x$ стоїть лише мінус. Це коефіцієнт −1: ділимо на −1 і змінюємо знак.
4. 4)У пункті 4 ділимо на 0,3, знак той самий. Праворуч −1,2 : 0,3 = −4.
5. 5)У пункті 5 ділимо на $-\frac{2}{5}$, тобто множимо на $-\frac{5}{2}$. Знак змінюємо. Праворуч $6\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=-15$.
6. 6)У пункті 6 частка не ціла: 12 : 5 = 2,4. Відповідь може бути дробовим числом.
7. 7)У пункті 7 праворуч нуль, і 0 : (−7) = 0. Знак однаково змінюємо, бо ділимо на від'ємне число.

Відповідь: 1) $[7;\,+\infty)$; 2) $(-\infty;\,-7)$; 3) $[-3;\,+\infty)$; 4) $(-\infty;\,-4)$; 5) $(-15;\,+\infty)$; 6) $(2{,}4;\,+\infty)$; 7) $(-\infty;\,0]$.

Приклад 2. Чи рівносильні нерівності

З'ясуємо, чи рівносильні три пари нерівностей.

1) $3x-5\gt 7$ і $3x\gt 12$; 2) $-2x\leqslant 8$ і $x\leqslant -4$; 3) $4x\lt 12$ і $x+2\lt 5$.

Розв'язання.

1. 1)У пункті 1 переносимо −5 у праву частину зі знаком «+». Це властивість 2, тож нерівності рівносильні.
2. 2)У пункті 2 ділимо на −2 і змінюємо знак: $x\geqslant -4$. А друга нерівність — $x\leqslant -4$. Число 0 задовольняє першу ($0\leqslant 8$), але не другу. Отже, розв'язки різні.
3. 3)У пункті 3 розв'язуємо обидві нерівності. Обидві дають $x\lt 3$: розв'язки однакові.

Відповідь: 1) так; 2) ні; 3) так.

Приклад 3. Розв'яжи і зобрази розв'язки на координатній прямій

Розв'яжемо нерівність і зобразимо множину її розв'язків на координатній прямій: 1) $x+6\geqslant 2$; 2) $7-2x\gt 3x-8$. Для другої назвемо три числа, що є її розв'язками.

Розв'язання.

1. 1)У пункті 1 переносимо 6 праворуч зі знаком «−». Знак $\geqslant$ нестрогий: точка −4 зафарбована, штриховка йде праворуч.
2. 2)У пункті 2 переносимо $3x$ ліворуч, а 7 — праворуч. Обидва доданки змінюють знаки: $3x$ стає $-3x$, а 7 стає −7.
3. 3)Ділимо на −5 і змінюємо знак $\gt$ на $\lt$. Знак строгий: точка 3 порожня, штриховка йде ліворуч.
4. 4)Розв'язки другої нерівності — усі числа, менші від 3. Наприклад, 2; 0; −10.

Відповідь: 1) $[-4;\,+\infty)$; 2) $(-\infty;\,3)$, наприклад, 2; 0; −10.

Приклад 4. Нерівність із дужками

Розв'яжемо нерівність $3(x-2)-(5-x)\geqslant 2(x+1)$.

Розв'язання.

1. 1)Розкриваємо дужки. Перед $(5-x)$ стоїть мінус, тому знаки всередині змінюються: $-5+x$.
2. 2)Переносимо $2x$ ліворуч, а −6 і −5 — праворуч, змінюючи їхні знаки.
3. 3)Зводимо подібні: $3x+x-2x=2x$ і 2 + 6 + 5 = 13. Ділимо на 2.

Відповідь: $[6{,}5;\,+\infty)$.

Приклад 5. Нерівність із дробами. Найменший цілий розв'язок

Знайдемо найменший цілий розв'язок нерівності $\frac{x+4}{3}-\frac{x-1}{2}\leqslant x$.

Розв'язання.

1. 1)Знаменники 3 і 2, найменший спільний знаменник — 6. Множимо на 6 кожен доданок, і праву частину $x$ теж.
2. 2)Скорочуємо: 6 : 3 = 2, 6 : 2 = 3. Перед $3(x-1)$ стоїть мінус, тому $-3(x-1)=-3x+3$.
3. 3)Переносимо, зводимо подібні і ділимо на −7. Число від'ємне — знак $\leqslant$ стає $\geqslant$.
4. 4)$\frac{11}{7}=1\frac{4}{7}$. Цілі числа праворуч від $1\frac{4}{7}$ — це 2, 3, 4, … Найменше з них — 2.

Відповідь: 2.

Приклад 6. Нерівність із квадратами. Натуральні розв'язки

Знайдемо всі натуральні розв'язки нерівності $(x-2)^2-x^2\geqslant 3x-26$.

Розв'язання.

1. 1)Розкриваємо квадрат різниці: $(x-2)^2=x^2-4x+4$. Доданки $x^2$ і $-x^2$ дають нуль — нерівність стає лінійною.
2. 2)Переносимо й зводимо подібні: $-7x\geqslant -30$. Ділимо на −7 і змінюємо знак.
3. 3)Натуральні числа — це 1, 2, 3, … Не більші за $4\frac{2}{7}$ — лише 1, 2, 3 і 4. Найбільший натуральний розв'язок — 4.

Відповідь: 1; 2; 3; 4.

Приклад 7. Нерівність вигляду 0x > b

Розв'яжемо нерівність: 1) $2(3x-1)-6x\gt 1$; 2) $\frac{x}{2}+x\geqslant \frac{3x}{2}-4$.

Розв'язання.

1. 1)У пункті 1 розкриваємо дужки й переносимо −2 праворуч. За будь-якого $x$ ліва частина $0x$ дорівнює нулю. Виходить $0\gt 3$ — неправильна нерівність. Отже, розв'язків немає.
2. 2)У пункті 2 множимо обидві частини на 2, кожен доданок. Отримуємо $0x\geqslant -8$. Ліва частина знову дорівнює нулю, а $0\geqslant -8$ — правильна. Отже, розв'язок — будь-яке число.

Відповідь: 1) розв'язків немає; 2) $(-\infty;\,+\infty)$.

Приклад 8. Коли функція набуває потрібних значень

За яких значень $x$: 1) функція $y=3x+12$ набуває від'ємних значень; 2) значення функції $y=1-4x$ не більші за 9?

Розв'язання.

1. 1)«Від'ємні значення» — це $y\lt 0$. Замість $y$ пишемо $3x+12$ і розв'язуємо нерівність.
2. 2)«Не більші за 9» — це $y\leqslant 9$. Ділимо на −4 і змінюємо знак.

Відповідь: 1) $(-\infty;\,-4)$; 2) $[-2;\,+\infty)$.

Приклад 9. Область визначення функції з коренем

Знайдемо область визначення функції: 1) $y=\sqrt{x-5}$; 2) $y=\frac{1}{\sqrt{2x+6}}$.

Розв'язання.

1. 1)Квадратний корінь існує лише з невід'ємного числа. Тому вираз під коренем $\geqslant 0$.
2. 2)У пункті 2 корінь стоїть у знаменнику, а ділити на нуль не можна. Тому вираз під коренем має бути строго більшим за нуль.

Відповідь: 1) $[5;\,+\infty)$; 2) $(-3;\,+\infty)$.

Приклад 10. Задача на відношення чисел

Два натуральні числа відносяться як 3 : 4, а їх сума менша від 100. Якого найбільшого значення може набувати більше з цих чисел?

Розв'язання.

1. 1)Позначимо числа $3k$ і $4k$, де $k$ — натуральне число. Їх сума менша від 100 — записуємо нерівність.
2. 2)$k\lt 14\frac{2}{7}$, а $k$ натуральне. Найбільше таке $k$ — 14.
3. 3)Більше число — $4k=56$. Перевірка: $42+56=98\lt 100$. Для $k=15$ сума 45 + 60 = 105 — уже забагато.

Відповідь: 56.

Приклад 11. Практична задача: куди округлювати

1) Ліфт піднімає не більше ніж 600 кг. Вантажник важить 80 кг, мішок цементу — 45 кг. Скільки найбільше мішків вантажник може підняти ліфтом за раз?

2) Треба пофарбувати 50 м² стіни. Однієї банки фарби вистачає на 8 м². Яку найменшу кількість банок треба купити?

3) Одна сторона прямокутника — 5 см. Якою має бути друга сторона, щоб площа прямокутника була меншою від 40 см²?

Розв'язання.

1. 1)Кількість мішків і банок — натуральне число $n$. Складаємо нерівність за умовою і розв'язуємо її.
2. 2)У пункті 1 $n\leqslant 11\frac{5}{9}$: найбільше натуральне число — 11. Округлюємо вниз, бо 12 мішків ліфт не підніме: $80+45\cdot 12=620\gt 600$.
3. 3)У пункті 2 $n\geqslant 6{,}25$: найменше натуральне число — 7. Округлюємо вгору, бо 6 банок вистачить лише на 6 · 8 = 48 м².
4. 4)У пункті 3 друга сторона — $x$ см, площа — $5x$ см². З нерівності $x\lt 8$. Але довжина — додатне число, тому ще $x\gt 0$. Відповідь — подвійна нерівність $0\lt x\lt 8$, тобто проміжок $(0;\,8)$.

Відповідь: 1) 11 мішків; 2) 7 банок; 3) більшою за 0 см і меншою від 8 см.

Приклад 12. Розв'яжи нерівність для кожного значення параметра

Для кожного значення $k$ розв'яжемо нерівність $kx+3\geqslant 3k+x$, де $x$ — змінна.

Розв'язання.

1. 1)Доданки з $x$ переносимо ліворуч, решту — праворуч. Виносимо спільні множники: $x$ ліворуч, 3 праворуч.
2. 2)Коефіцієнт при $x$ — число $k-1$. Воно може бути додатним, нулем або від'ємним: розглядаємо три випадки.
3. 3)У випадку 1 ділимо на додатне $k-1$ — знак той самий. У випадку 3 ділимо на від'ємне $k-1$ — знак змінюємо.
4. 4)У випадку 2 маємо $0\geqslant 0$ — правильна нерівність за будь-якого $x$.

Відповідь: якщо $k\lt 1$, то $x\leqslant 3$; якщо $k=1$, то $x$ — будь-яке число; якщо $k\gt 1$, то $x\geqslant 3$.

Приклад 13. Добери параметр або склади нерівність

1) За яких значень $a$ нерівність $ax\lt 10$ має ту саму множину розв'язків, що й нерівність $x\lt \frac{10}{a}$? 2) Складемо нерівність вигляду $ax\gt b$, множина розв'язків якої — проміжок $(-\infty;\,2)$. 3) Чи існує таке значення $a$, за якого розв'язком нерівності $(a+2)x\lt 4$ є будь-яке число?

Розв'язання.

1. 1)У пункті 1 ділимо $ax\lt 10$ на $a$. Знак $\lt$ лишається, лише якщо $a$ додатне. Якщо $a\lt 0$, вийшло б $x\gt \frac{10}{a}$. Якщо $a=0$, дріб $\frac{10}{a}$ не існує.
2. 2)У пункті 2 знак у відповіді $\lt$, а в шуканій нерівності $\gt$. Отже, знак змінився: $a$ від'ємне. Беремо $a=-1$: нерівність $-x\gt b$ дає $x\lt -b$. Щоб вийшло $x\lt 2$, треба $-b=2$, тобто $b=-2$. Підходить і $-3x\gt -6$.
3. 3)У пункті 3 будь-яке число буває розв'язком лише тоді, коли коефіцієнт при $x$ дорівнює нулю. Тоді $0\lt 4$ — правильна нерівність. Так само, лише за $a=0$, нерівність $ax\gt 2$ не має розв'язків: $0\gt 2$ — неправильна.

Відповідь: 1) $a\gt 0$; 2) наприклад, $-x\gt -2$; 3) так, $a=-2$.

Приклад 14. Параметр у рівнянні

1) За яких значень $a$ корінь рівняння $3x+2=a$ — від'ємне число? 2) За яких значень $c$ рівняння $x^2-6x+c=0$ має два різні корені? 3) За яких значень $m$ рівняння $mx^2+4x+2=0$ не має коренів? 4) А за яких $m$ воно має два різні корені?

Розв'язання.

1. 1)У пункті 1 спершу розв'язуємо рівняння: $3x=a-2$, $x=\frac{a-2}{3}$. Дріб зі знаменником 3 від'ємний, коли від'ємний чисельник.
2. 2)У пункті 2 квадратне рівняння має два різні корені, коли дискримінант додатний: $D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot c=36-4c$.
3. 3)У пункті 3 параметр стоїть при $x^2$. Якщо $m=0$, рівняння не квадратне: $4x+2=0$ має корінь −0,5. Тому $m=0$ не підходить.
4. 4)Якщо $m\ne 0$, коренів немає, коли $D\lt 0$: $D=4^2-4\cdot m\cdot 2=16-8m$.
5. 5)У пункті 4 потрібно $D\gt 0$: $m\lt 2$. Але за $m=0$ рівняння має лише один корінь −0,5. Тому число 0 вилучаємо з відповіді.

Відповідь: 1) $a\lt 2$; 2) $c\lt 9$; 3) $m\gt 2$; 4) $m\lt 2$, $m\ne 0$.