Системи лінійних нерівностей і подвійні нерівності: розв'язок як перетин проміжків — алгебра 9 клас

Приклад 1. З’ясуй, які з чисел −1, 2 і 5 є розв’язками системи.

$\begin{cases}2x-1\gt 1,\\ x+3\leqslant 7.\end{cases}$

Розв'язання.

1. 1)Підставимо −1 у першу нерівність: її ліва частина дорівнює −3, а −3 не більше за 1. Тому −1 не є розв’язком системи, і другу нерівність перевіряти не потрібно.
2. 2)Число 2 задовольняє обидві нерівності: $3\gt 1$ і $5\leqslant 7$. Отже, 2 є розв’язком системи.
3. 3)Число 5 задовольняє першу нерівність, але не другу, бо 8 більше за 7. Розв’язок системи має задовольняти кожну нерівність, тому 5 не підходить.

Відповідь: розв'язком системи є лише число 2.

Приклад 2. Розв’яжи систему нерівностей.

Розв'язання.

1. 1)У першій нерівності перенесемо −2 праворуч зі знаком «плюс» і дістанемо $3x\gt 6$. Ділимо на 3; знак не змінюється, бо 3 — додатне число.
2. 2)У другій нерівності перенесемо 5 праворуч зі знаком «мінус» і дістанемо $-x\geqslant -4$. Ділимо на −1 і змінюємо знак на протилежний, бо ділимо на від’ємне число.
3. 3)Штриховки спрямовані назустріч і перекриваються між 2 і 4. Число 2 не входить через строгу нерівність $x\gt 2$, а 4 входить через нестрогу нерівність $x\leqslant 4$.

Відповідь: $(2;\,4]$.

Приклад 3. Розв’яжи систему, у якій обидві нерівності зі знаком «більше».

Розв'язання.

1. 1)Розв’язуємо кожну нерівність і дістаємо $x\geqslant 3$ та $x\gt 4$. Обидві штриховки спрямовані праворуч.
2. 2)Обидві штриховки є лише праворуч від 4. Число між 3 і 4, наприклад 3,5, задовольняє першу нерівність, але не другу. Тому відповідь починається від 4, а саме 4 не входить, бо нерівність $x\gt 4$ строга.

Відповідь: $(4;\,+\infty)$.

Приклад 4. Розв’яжи систему з десятковими коефіцієнтами.

Розв'язання.

1. 1)Першу нерівність ділимо на 0,5, а другу ділимо на 0,2: $4:0{,}5=8$ і $1:0{,}2=5$. Знаки не змінюються, бо обидва дільники додатні.
2. 2)Числа мають бути більшими за 8 і водночас не більшими за 5. Таких чисел немає: кожне число, більше за 8, більше й за 5, тож штриховки не мають спільної частини.

Відповідь: розв'язків немає.

Приклад 5. Розв’яжи систему і назви два її розв’язки.

Розв'язання.

1. 1)У кожній нерівності доданки з $x$ переносимо ліворуч, а числа — праворуч і змінюємо їхні знаки на протилежні. Так $3x$ стає $-3x$, а $+2$ переходить у $-2$.
2. 2)Зведемо подібні доданки й поділимо першу нерівність на 2. Дістанемо $x\lt 4$ і $x\geqslant 2$, отже, спільна частина — від 2 включно до 4, яке не входить.
3. 3)Щоб назвати два розв’язки, вибери числа з проміжку $[2;\,4)$, наприклад 2 і 3. Число 4 не підходить, бо нерівність $x\lt 4$ строга.

Відповідь: $[2;\,4)$; наприклад, 2 і 3.

Приклад 6. Розв’яжи систему з дужками.

Розв'язання.

1. 1)Розкриємо дужки: $2(x+3)=2x+6$ і $4(x-1)=4x-4$. Для цього множимо кожен доданок у дужках на число перед ними.
2. 2)Перенесемо доданки з $x$ ліворуч, а числа — праворуч, змінивши знаки. У першій нерівності дістанемо $-x\gt -5$.
3. 3)Першу нерівність ділимо на −1 і змінюємо знак на протилежний, бо ділимо на від’ємне число. Другу нерівність ділимо на 3, тому її знак не змінюється.

Відповідь: $[2;\,5)$.

Приклад 7. Знайди суму всіх цілих розв’язків системи.

$\begin{cases}(x-3)^2-x(x-4)\geqslant -3,\\ \frac{x+1}{4}-\frac{x}{2}\lt 1.\end{cases}$

Розв'язання.

1. 1)У першій нерівності розкриваємо квадрат різниці $(x-3)^2=x^2-6x+9$ і дужки $x(x-4)=x^2-4x$. Перед другим добутком стоїть мінус, тому пишемо $-x^2+4x$. Доданки $x^2$ і $-x^2$ у сумі дають нуль, і нерівність стає лінійною.
2. 2)Другу нерівність множимо на найменший спільний знаменник 4. Множимо кожен доданок лівої частини і праву частину: $\frac{4(x+1)}{4}=x+1$, $\frac{4x}{2}=2x$, а $1\cdot 4=4$.
3. 3)У першій нерівності доданки зі змінною зводимо до $-2x$, а число 9 переносимо праворуч: $-3-9=-12$, тому маємо $-2x\geqslant -12$. У другій нерівності доданки зі змінною зводимо до $-x$, а число 1 переносимо праворуч: $4-1=3$, тому маємо $-x\lt 3$. Ділимо нерівності відповідно на $-2$ і $-1$ та змінюємо знаки, тому система задає перетин проміжків $(-3;\,6]$.
4. 4)Цілі числа цього проміжку лежать від −2 до 6. Число −3 не входить через строгу нерівність $x\gt -3$, а 6 входить через нестрогу нерівність $x\leqslant 6$.
5. 5)Додамо цілі розв’язки. Пари −2 і 2, а також −1 і 1 дають нуль, тому лишається $0+3+4+5+6=18$.

Відповідь: 18.

Приклад 8. Знайди найбільший цілий розв’язок системи.

$\begin{cases}(x+2)(x-4)\leqslant x(x-1)+4,\\ 5(x-1)-2\lt 3x+6.\end{cases}$

Розв'язання.

1. 1)Перемножимо дужки: $(x+2)(x-4)=x^2-2x-8$. Доданки $x^2$ в обох частинах однакові, тому після перенесення вони в сумі дають нуль.
2. 2)Першу нерівність ділимо на −1 і змінюємо знак, а другу ділимо на 2. Одержуємо проміжок $[-12;\,6{,}5)$.
3. 3)Найбільше ціле число, менше від 6,5, — це 6. Наступне ціле число 7 уже більше за 6,5, а ліва межа −12 не впливає на найбільше число.

Відповідь: 6.

Приклад 9. Розв’яжи подвійну нерівність.

Розв'язання.

1. 1)Щоб у середній частині залишився лише доданок з $x$, віднімемо 3 від усіх трьох частин. Крайні частини стануть $-1-3=-4$ і $7-3=4$, а знаки не зміняться, бо від усіх частин віднімаємо те саме число.
2. 2)Поділимо всі три частини на 2. Обидва знаки залишаються без змін, бо 2 — додатне число; позначка праворуч показує виконану дію.

Відповідь: $(-2;\,2]$.

Приклад 10. Розв’яжи подвійну нерівність із дробом.

Розв'язання.

1. 1)Помножимо всі три частини на 5, щоб позбутися знаменника: крайні частини стануть $-1\cdot 5=-5$ і $3\cdot 5=15$. Потім віднімемо 3 від кожної частини: $-5-3=-8$ і $15-3=12$.
2. 2)Поділимо всі частини на −2: $-8:(-2)=4$ і $12:(-2)=-6$. Через ділення на від’ємне число змінимо обидва знаки на протилежні: $\leqslant$ на $\geqslant$, а $\lt$ на $\gt$.
3. 3)Запис $4\geqslant x\gt -6$ правильний. Менше число в подвійній нерівності прийнято писати ліворуч, тому переписуємо той самий запис справа наліво: $-6\lt x\leqslant 4$. Знак кожного порівняння вістрям указує на менше число.

Відповідь: $(-6;\,4]$.

Приклад 11. Знайди область допустимих значень змінної у виразі з двома коренями.

$\sqrt{x+4}+\frac{1}{\sqrt{6-2x}}$

Розв'язання.

1. 1)Квадратний корінь існує лише з невід’ємного числа. Тому вираз під першим коренем має задовольняти умову $x+4\geqslant 0$.
2. 2)Другий корінь стоїть у знаменнику, а на нуль ділити не можна. Тому вираз під цим коренем має бути додатним: $6-2x\gt 0$.
3. 3)Обидві умови мають виконуватися одночасно, тому запишемо їх системою. Ділячи $-2x\gt -6$ на −2, змінимо знак; спільна частина простягається від −4 включно до 3, яке не входить.

Відповідь: $[-4;\,3)$.

Приклад 12. Знайди область визначення функції з коренями й дробом.

$y=\sqrt{x-2}+\frac{3}{\sqrt{8-x}}+\frac{1}{x^2-16}$

Розв'язання.

1. 1)Вираз під першим коренем має бути невід’ємним, а під коренем у знаменнику — додатним, як і в попередньому прикладі. Звідси дістаємо $x\geqslant 2$ і $x\lt 8$.
2. 2)Знаменник третього дробу не може дорівнювати нулю, бо на нуль ділити не можна. Рівність $x^2-16=0$ виконується, коли $x=4$ або $x=-4$, адже $4^2=16$ і $(-4)^2=16$; ці числа виключаємо.
3. 3)Спільна частина перших двох умов — від 2 включно до 8, яке не входить. Число $-4$ до цієї частини не належить. Число 4 лежить усередині, тому на прямій ставимо в точці 4 порожню точку й виключаємо її з відповіді.

Відповідь: $[2;\,4)\cup(4;\,8)$.

Приклад 13. Знайди, за яких значень $x$ обидві функції набувають невід’ємних значень.

$y=0{,}4x-2$ і $y=6-0{,}5x$

Розв'язання.

1. 1)«Невід’ємні значення» означає, що значення функції більше або дорівнює нулю, тобто $y\geqslant 0$. Слово «обидві» означає, що умови мають виконуватися разом, тому запишемо систему.
2. 2)Першу нерівність ділимо на 0,4: $2:0{,}4=5$. Другу ділимо на −0,5 і змінюємо знак: $-6:(-0{,}5)=12$; обидва кінці входять у відповідь, бо нерівності нестрогі.

Відповідь: $[5;\,12]$.

Приклад 14. Знайди можливу довжину третьої сторони трикутника.

Одна сторона трикутника дорівнює 6 см, а друга — 9 см. Периметр трикутника менший від 22 см; якою може бути довжина третьої сторони?

Розв'язання.

1. 1)Позначимо довжину третьої сторони через $x$ см. Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших, тому $x\lt 6+9=15$. Також $x\gt 9-6=3$, бо інакше сторона 9 см була б не меншою від суми двох інших.
2. 2)Периметр дорівнює сумі трьох сторін, тому $6+9+x\lt 22$. Звідси $x\lt 7$.
3. 3)Кожне число, менше від 7, менше й від 15, тому умова $x\lt 15$ виконується сама. На прямій показано лише $x\gt 3$ і $x\lt 7$. Їхня спільна частина — числа між 3 і 7, без кінців.

Відповідь: більшою за 3 см і меншою від 7 см.

Приклад 15. Склади систему за умовою покупки й знайди ціну олівця.

Оля купила альбом за 45 грн і 6 олівців та заплатила за всю покупку менше ніж 81 грн. Петро купив фарби за 60 грн і 4 такі самі олівці, як в Олі, та заплатив більше ніж 78 грн. Знайди ціну одного олівця, якщо вона дорівнює цілому числу гривень.

Розв'язання.

1. 1)Позначимо ціну одного олівця через $x$ грн. Тоді Оля заплатила $45+6x$ грн, а Петро заплатив $60+4x$ грн.
2. 2)Обидві умови стосуються тієї самої ціни $x$ і мають виконуватися разом, тому запишемо систему нерівностей. Розв’язуючи, ділимо: $36:6=6$ і $18:4=4{,}5$.
3. 3)Між 4,5 і 6 є лише одне ціле число — 5. За цієї ціни Оля заплатила $45+6\cdot 5=75$ грн, а Петро — $60+4\cdot 5=80$ грн; обидві суми задовольняють умови.

Відповідь: $45+6x\lt 81$ і $60+4x\gt 78$; олівець коштує 5 грн.

Приклад 16. Знайди, за яких значень $a$ обидва корені рівняння менші від 5.

$x^2-(2a+3)x+a^2+3a=0$

Розв'язання.

1. 1)Дискримінант рівняння дорівнює 9 за будь-якого $a$. У чисельнику формули коренів стоїть корінь із дискримінанта, тому $\sqrt{9}=3$. Отже, рівняння має два різні корені: $a+3$ і $a$.
2. 2)Обидва корені мають бути меншими від 5, тому кожен із них порівнюємо з 5 і записуємо систему. Перша нерівність дає $a\lt 2$.
3. 3)Обидві штриховки спрямовані ліворуч, тому спільна частина лежить ліворуч від меншого з чисел 2 і 5. Будь-яке число, менше за 2, автоматично менше й за 5.

Відповідь: $a\lt 2$.